Voici une preuve que si le nombre de maisons devient grand, le temps de parcours optimal tend vers
.
J'utilise deux choses
-dans le carré, tout triangle a un périmètre inferieur à
. Je n'ai pas vérifié le calcul, mais ça me semble vrai.
-qu'il existe un temps
tel qu'il est possible de visiter toutes les maisons d'un carré de coté 1 en un temps
, quelque soit la configuration ( ce que j'ai obtenu dans un post précédent avec des majorations grossières,
). Et donc que si on prend un carré de coté
, on peut en visiter toutes les maisons en un temps inférieur à
.
Maintenant divisons le carré de coté 1 en un grand nombre
de petits carrés de côté
. Si le nombre de maisons est suffisamment grand, on peut trouver au moins un petit carré contenant plus de
maisons. Alors la stratégie:
-on va dans ce petit carré en un temps
-on visite toutes les maisons du carré en un temps
, et on recrute ainsi
personnes, 1 par carré
-chacune des
personnes va dans un carré différent, en un temps
(qui dépend de la personne)
-chacun visite son carré en un temps
-tout le monde rentre au bercail en un temps
(qui dépend de la personne)
Puique
, le temps total est inférieur à