Reste toujours cinq

[Le Chat]

Trouver le plus petit entier x > 5 tel que

x divise 10 reste 5
x divise 8 reste 5
x divise 55 reste 5!

si vous connaissez la notation modulo :

xmod10= xmod8 =xmod55=5

bonne chance!
:zen:

[Lostounet]

Salut !

Il y a plus petit que 445 ? (si j'ai bien compris l'énoncé)

[Le Chat]

Salut !

Il y a plus petit que 445 ? (si j'ai bien compris l'énoncé)

C'est cela oui. Comment t'as procédé?

[Lostounet]

J'ai d'abord réfléchi à la troisième condition: un nombre que tu divises par 55 ne devrait pas être très petit. Il est possible que ce nombre soit de la forme *** (trois chiffres).

Le chiffre des unités peut être 5, puisqu'en retirant 5 du nombre on trouve 0 (le nombre devient divisible par 10). Le nombre pourrait être de la forme **5

Ensuite, en examinant le critère de divisibilité par 8 (les trois chiffres devant former un nombre divisible par 8 évidemment), j'ai fouiné dans les multiples de 55 jusqu'à ce que les deux premiers chiffres (auxquels on accolerait un 0 en soustrayant 5) puissent former un nombre divisible par 8.

Je suis tombé sur 445 !

P.S: J'ai pensé à vérifier 55+5 aussi :doh:

[mathafou]

Bonjour,

en mettant de côté les 5 qui restent toujours, le nombre serait un multiple exact de 10, 8 et 55, donc un multiple de leur PPCM, c'est à dire un multiple de 8*55 = 440
le nombre cherché étant 5 de plus, il est de la forme 440k + 5
le plus petit est 445

aucun essai à faire

[Le Chat]

Bonjour,

en mettant de côté les 5 qui restent toujours, le nombre serait un multiple exact de 10, 8 et 55, donc un multiple de leur PPCM, c'est à dire un multiple de 8*55 = 440
le nombre cherché étant 5 de plus, il est de la forme 440k + 5
le plus petit est 445

aucun essai à faire

N - 5 = ppcm(10,8,55) = 440 etc

[Luc]

Bonjour,

c'est une petite application du lemme chinois, également appelé théorème des restes chinois, à ne pas confondre avec celui des restos chinois.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

[annick]

@ luc : j'adore ton humour. :lol3:

[mathafou]

Bonjour,

c'est une petite application du lemme chinois, également appelé théorème des restes chinois,

euh pas vraiment.
on peut certes utiliser le lemme/théorème des restes chinois mais :
1) c'est utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche
2) cet exercice est soluble bien avant d'avoir jamais entendu parler de congruences, de théorème de Bézout, d'algorithme d'Euclide et autres joyeusetés indispensables à une utilisation du théorème des restes chinois
il suffit ici d'avoir vu le PPCM et rigoureusement rien d'autre et de savoir raisonner.
donc niveau collège.

Certes si les restes étaient quelconques, on tombe sur la nécessité des restes chinois, mais avec des précautions indispensables car ce théorème requiert que les diviseurs (les modules) soient premiers entre eux, ce qui n'est ici pas le cas.
Mais les données de cet exo sont extrèmement simplificatrices : les restes ne sont pas quelconques du tout !!
ce qui permet la résolution totalement élémentaire, sans restes chinois.
(diverses variantes avec des restes pas quelconques du tout qui reviennent à chercher N+/- une constante comme multiple exact du PPCM et "c'est tout")