Rebonjour
Voilà je détaille un peu cet histoire de relation de fermeture et précise le problème inhérent à la question qui avait été posée.
D'abord il faut comprendre que la question que j'ai trouvée n'est pas précise donc on ne pourra pas répondre
c'est sûr sauf si la question est éclaircie par l'auteure. Mais néanmoins il se pose une question que je précise davantage ci-dessous.
La relation de "fermeture" on l'a trouve dans les cours de mécanique quantique (souvent sans démonstration), exprimée avec des notations que je qualifierai de physicien et je reviendrai donc dessus plus loin pour l'expliquer de façon plus "mathématique"
Mais d'abord qu'est ce qu'il se passe concrètement avec la question posée:
Elle me donne un espace de façon un peu évasif, muni d'un produit scalaire et d'une famille
, 1 périodique qui vérifie 1 et 2. et elle demande pourquoi 1 et 2. suffisent pour montrer que cela forme une base (de quoi??)
Mais après avoir réfléchi, son espace ne peut être que celui des fonctions
qui vérifient
En effet, il faut cela respecte son produit scalaire.
Le cas
est intéressant mais je l'exclus maintenant car il sort du contexte.
Donc je ne considère ici que l'espace (que j'appelle E) des fonctions qui vérifient:
E est alors un espace de Hilbert, il respecte
le produit scalaire donné dans le sujet et en particulier on a la relation
 |^2 dx.)
De plus la famille
)
est une base (b.o.n) de Hilbert de E.
Une fonction de E,
est évidement dans
)
et par extension sur R définie p.p et 1-périodique.
Maintenant je reviens sur la relation 2. de fermeture.
=\delta (x-\alpha ))
est bien une relation ponctuelle. C'est une notation de physicien et ça veut dire que pour
fixé
=\delta _{\alpha})
(i.e la mesure de Dirac en
)
Si on pose pour chaque
,
 = \sum_{n_\in Z} e_n(.-\alpha))
la relation de fermeture signifie donc que
est la distribution qui vérifie
, \forall \Phi \in D(]-1/2,1/2[))
(espace des fonctions définies sur
,
et à support compact).
Avant soulever le problème j'explique sur un exemple standard:
Si je considère l'opérateur A non borné défini sur
)
(muni du produit scalaire usuel) par
avec condition de Dirichlet au bord , i.e
=u(1)=0.)
Il est bien connu que la famille
des vecteurs propres de A forment une base (orthogonale) de
.
Un calcul simple donne
=\sqrt{2} sin(k \pi x) , n=1,2,...)
(le facteur
étant un facteur de normalisation.)
La relation de fermeture est donc
 sin(k\pi \alpha ) =\delta_{\alpha } \forall \alpha \in[0,1].)
C'est une propriété générale.
Mais une façon de le voir ici c'est de considérer la fonction
définie sur
[0,1] par
pour
et
 (1-x))
,
Pour
ou
, c'est presque analogue, je ne le traite pas ici.
Il est facile de voir que
n'est pas dans le domaine de A mais dans le domaine de
et un double calcul montre que
(avec 2i.p.p)
mais aussi
 sin(k\pi \alpha ))
en écrivant dans la la b.o.n
(la constante étant la même =
*1/(1-\alpha))
d'où la preuve de la relation de fermeture).
Revenons enfin au problème posé.
On a une famille
_{n\in \Z})
orthonormale , qui vérifie la relation de fermeture (cela se vérifie assez facilement).
Mais à défaut de savoir que cette base provient d'un opérateur autoadjoint (comme sur l'exemple que j'ai donné ci-dessus) que représente alors l'espace des fonctions
.
Clairement c'est un sous-espace de
)
mais est-ce
?
La relation de fermeture donne-t-elle un renseignement par rapport à cette question?
