Récurrence pas comme les autres

[houssamhoussni]

Bonjour mes chers frères,
çela fait 2 semaines que je pense à un problème d olympiades, je serai très reconnaissant si vous m'aidez à le résoudre:
Soit k un entier naturel impair, et n>1,
Montrez, par récurrence ,que 1*k+2*k+3*k+..........n*k est divisible par (n(n+1))/2 avec 1*k =1 à la puissance k et ainsi de suite pour les autres nombres !
Merci d avance!

[zygomatique]

salut

soit k un naturel impair et posons

1/ déterminer une relation de récurrence entre et du type

2/ faire un raisonnement par récurrence en montrant que f(n) est multiple de n(n + 1)/2

...

[Ben314]

Salut,
Perso, je serais parti du fait que, pour tout entier naturel non nul k, et tout a,b réels (ou complexes) on a la factorisation donc, si k est impair, et, en particulier, si a et b sont entier (et k impair) alors est divisible par ...
Ensuite, tu écrit (pour k impair) que

mais aussi que


Attention : Il y a un petit piège (lequel ?)

[chan79]

Bonjour mes chers frères,

Bonjour frère matheux

On peut montrer que, si n est pair:
est divisible par n+1 et est divisible par n
donc est divisible par n(n+1) car n et n+1 sont premiers entre eux, cqfd
De même, si n est impair
est divisible par n et est divisible par n+1
etc
On peut peut-être y arriver par récurrence, sur n ou sur k ...