Le rectangle rose

par **Patastronch** » 12 Aoû 2008, 20:16

Une petite enigme assez simple pour fêter la fin des vacances (enfin des miennes en tous cas)

27 point sont régulièrement disposés aux sommets d'un maillage carré comme suit :
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

Chacun de ces points est colorié en noir ou en rose de telle sorte qu'aucun rectangle n'ai ses quatre sommets noirs.

Peut-on trouver un tel coloriage avec en plus la condition qu'aucun rectangle n'ai ses 4 sommets roses ?

Problème tiré du journal "Le Monde" daté du mardi 27 octobre 1998 (problème n° 93).

par **Imod** » 12 Aoû 2008, 20:26

Comme je connais , je laisse chercher les autres :zen:

Imod

par **guigui51250** » 12 Aoû 2008, 20:31

Patastronch a écrit:Une petite enigme assez simple pour fêter la fin des vacances (enfin des miennes en tous cas)

27 point sont régulièrement disposés aux sommets d'un maillage carré comme suit :
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

Chacun de ces points est colorié en noir ou en rose de telle sorte qu'aucun rectangle n'ai ses quatre sommets noirs.

Peut-on trouver un tel coloriage avec en plus la condition qu'aucun rectangle n'ai ses 4 sommets roses ?

Problème tiré du journal "Le Monde" daté du mardi 27 octobre 1998 (problème n° 93).

Euh bah sans vraiment réfléchir je dirais que ce n'ai pas possible, juste une intuition,j'essaye d'aborder le problème mais je ne sais pas comment m'y prendre alors je vais sagement attendre la réponse ^^

par **Patastronch** » 12 Aoû 2008, 20:40

Tu intuitionnes bien !
Le problème est, je le rappelle, simple. Donc un petit peu d'astuce devrait suffire pour trouver l'argument clef :)

par **Flodelarab** » 12 Aoû 2008, 21:06

Je raisonne par colonne.

Si il y a 3 points noirs sur la première colonne, alors il faut éviter de trouver une autre colonne avec deux points noirs. Il ne peut y avoir que 3 combinaisons de 2 points roses parmi 3 points. 2 colonnes seront forcément identiques formant un rectangle rose.

On fait le même raisonnement avec 0 point noir. (Soit 3 points roses)

Donc la première colonne est réparti 2-1 (2 points noir et 1 point rose OU 1 rose et 2 noirs)
Cela interdit à toute autre colonne d'être unicolore.

Seulement, il n'existe que 3 répartitions 2N-1R et 3 répartitions 1N-2R. Donc a partir de 7 colonnes, une colonne est redondante formant ainsi un rectangle.

Or, il y a 9 colonnes. Donc c'est impossible.

par **Patastronch** » 12 Aoû 2008, 21:14

Oui, ou plus simplement :
il y a 8 façons de colorier une colonne et il y a 9 colonnes, donc 2 sont forcément colorié de la même manière.

Remarque : Le problème marche avec seulement 8 colonnes du fait de la condition initiale : "de telle sorte qu'aucun rectangle n'ai ses quatre sommets noirs."

par **Flodelarab** » 12 Aoû 2008, 21:30

Ben, d'après ma démonstration même avec 7 colonnes. Et grâce à ta vision, 7 colonnes aussi. Les unicolores sont interdits.

J'ai pensé à voir cela en colonne mais je n'ai pas pensé à voir cela comme des nombres binaires à 3 chiffres. Ça m'étonne.

par **lapras** » 12 Aoû 2008, 21:36

Peut-on trouver un tel coloriage avec en plus la condition qu'aucun rectangle n'ai ses 4 sommets roses ?

Non :happy2:
Justification :
2^3 = 8 facons de colorier une ligne de points, 9 lignes de points => 2 lignes de points de même couleur
EDIT : grillé !!!! :marteau:

par **Imod** » 18 Aoû 2008, 16:32

Pendant qu'on y est ( problème d'olympiades ) :

Le plan est entièrement colorié avec du noir et du rose . Peut-on trouver un rectangle de ce plan dont les quatre sommets sont de la même couleur ?

Imod

par **ThSQ** » 18 Aoû 2008, 20:47

Imod a écrit:Pendant qu'on y est ( problème d'olympiades ) :

Le plan est entièrement colorié avec du noir et du rose . Peut-on trouver un rectangle de ce plan dont les quatre sommets sont de la même couleur ?

Imod

Ben suffit de tracer un quadrillage n'importe où comme en #1 non ?

par **Imod** » 18 Aoû 2008, 22:40

Ben oui !!! Posé seul il est plus difficile à aborder :zen:

Imod

par **Patastronch** » 19 Aoû 2008, 02:56

En effet, avec l'ennoncé de base en haut c'est pas tres glorieux

Sinon dans le meme genre (j'ai toujours pas trouvé la réponse) :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=7318

par **Imod** » 19 Aoû 2008, 12:40

Il me semble que j'ai déjà donné une solution à ce problème ( ou un équivalent ) dans la série des défis . l'idée est de raisonner par l'absurde et d'en déduire alors qu'un cercle entier de rayon

est monochrome ce qui est impossible .

Imod

par **Imod** » 21 Aoû 2008, 15:10

Comme on ne se bouscule pas pour répondre , je donne ma solution :we:

On suppose que le plan est peint en trois couleurs , rouge , vert , bleu et par l'absurde que pour un certain

deux points du plan distants de

ne sont jamais de la même couleur . Considérons par exemple un point

de couleur rouge . Si

est un point du cercle

de centre

et de rayon

alors en considérant le losange

constitué de deux triangles équilatéraux

et

de côté

, on obtient que

est rouge . Alors tout le cercle

est rouge et en particulier deux points distants de

, ce qui contredit l'hypothèse .

Imod

par **Imod** » 22 Aoû 2008, 17:10

Puisque nous en sommes aux variations sur un même thème :

1°) Les points d'une droite sont peints avec deux couleurs , pour tout

positif existe-t-il deux points distants de

et de même couleur ?
2°) Les points de l'espace ( dimension 3 ) sont peints avec quatre couleurs , ...

Imod

par **Patastronch** » 23 Aoû 2008, 03:30

Imod a écrit:1°) Les points d'une droite sont peints avec deux couleurs , pour tout positif existe-t-il deux points distants de et de même couleur ?

Naivement je dirais qu'un coloriage qui colorie l'intervalle [n,n+1[ avec une couleur associée à la parité de n devrait suffire à dire non (pour d=1 par exemple).

Imod a écrit:2°) Les points de l'espace ( dimension 3 ) sont peints avec quatre couleurs , ..

J'ai envie de dire que c'est pareil que le précédent mais je verifierai ca demain quand il se fera moins tard

par **Imod** » 23 Aoû 2008, 14:14

C'est ça !

Pour ceux qui aiment les problèmes ouverts : Quel nombre minimum de couleurs faut -il pour peindre le plan de façon à ce que deux points distants de 1 cm ne soient jamais de la même couleur ?

Imod

Le rectangle rose

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