Recherche de fonction

[vincentroumezy]

Bonjour à tous.
Je ne sais pas si cet exo constitue un défi pour vous, mais je le met quand même:
Trouver toutes les fonctions C1 de R dans R telles que fof=f.
Amusez vous bien....

[Stephanelam]

Une fonction C1 c'est une fonction dérivable une seule fois c'est ça ?

Et donc il faut trouver les fonctions f telles que la composée de f par f soit égale à f. Hmm ... je vais chercher.

Edit 1 : Ah, apparemment c'est dérivable une fois et continue.

Edit 2 : J'allais dire que la fonction valeur absolue marche bien mais elle n'est pas dérivable en 0 ... c'est bête. Je retourne gratter.

Edit 3 : Bon ben déjà y a la fonction identité. Mais on va pas aller loin avec ça :ptdr:

[Doraki]

je trouve qu'il y a seulement l'identité et les fonctions constantes.

[vincentroumezy]

C'est ça, moi j'ai pu montrer qu'elles fonctionnaient (encore heureux), mais j'ai pas réussi à montrer que cétaient les seules.
A Steph, c'est dérivable et la dérivée continue.
En général, une fonction de classe est une fonction k fois dérivable de dérivée k-ième continue.

[Stephanelam]

Euh ... par fonctions constantes vous voulez dire f(x)=3 par exemple ?
Ben oui, ça je les avais aussi, mais c'est vraiment intéressant ? Dans le sens où leur dérivée est nulle et elles sont continues, ok, mais vraiment, si y a que l'identité et les constantes, c'est pas intéressant, non ?

Bref, ben alors j'avais le bon résultat aussi, mais faudrait voir pour prouver que ce sont les seules ...

[vincentroumezy]

Cest résultat en lui-même n'a peut-être pas grand interêt, mais c'est surtout la résolution qui en a un vu que ça a été posé à Centrale à l'oral.

[Doraki]

Voilà une preuve :

Im f = l'ensemble des points fixes de f, et c'est donc un fermé.
Im f est un intervalle car f est continue.
Si Im f est un singleton {a}, alors f est la fonction constante x -> a.
Si Im f n'est pas un singleton alors les points de Im f ne sont pas isolés dans Im f,
et donc pour tout x dans Im f, f'(x) = 1.
Donc Im f est ouvert (si x est dans Im f, comme f(x)=x et que f'(x)=1, f est une bijection locale autour de x)
Comme R est connexe, Im f est donc égal à R, et donc f est l'identité.

[vincentroumezy]

Le problème, c'est que je l'ai eu en colle, et les trucs comme la connexité, c'est pas au programme.

[Stephanelam]

Ah ouais, la preuve en impose. Bon ben je retourne à mes trinômes moi ...

[vincentroumezy]

Normalement il y a une preuve plus simple.
Je suis parti sur fof=f donc f'*f'of=f' donc, si f ' n'est pas la fonction nulle, f'of=1....

[Doraki]

ben sans connexité, c'est pas trop dur non plus de trouver qui sont les mystérieux intervalles ouverts fermés et non vides de R.