A la recherche d'entiers

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Saiga
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A la recherche d'entiers

par Saiga » 20 Juin 2022, 20:42

Bonjour à tous,

je suis à la recherche de tous les entiers n tels que :


J'ai trouvé 2 (pour p=1) et je crois ben que c'est le seul. Mais je n'arrive pas à le prouver.
Des idées ?

Merci



Shalom15
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Re: A la recherche d'entiers

par Shalom15 » 20 Juin 2022, 22:48

Bonsoir. Pour prouver tu remplaces p par 1 et tu conclus

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 21 Juin 2022, 00:16

Bonsoir, si je remplace p par 1, je trouve n=2. Qu'est-ce qui me dit qu'il n'y en a pas d'autres pour p > 1 ?

Archytas
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Re: A la recherche d'entiers

par Archytas » 22 Juin 2022, 22:04

Intéressant ce problème ! J'arrive seulement à montrer que s'il existe un couple qui vérifie les inéquations pour alors il existe une infinité de couples pour des arbitrairement grands (en montrant qu'il existe un entier dans l'intervalle correspondant à pour assez grand). Si quelqu'un parvenait à montrer qu'il n'existe pas de tels couples asymptotiquement en ça permettrait de conclure mais je n'arrive pas à le démontrer.

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 23 Juin 2022, 09:57

J'ai peut-être une piste.
Mais il faut déjà que je démontre que pour n'est pas un entier, histoire de pouvoir ensuite travailler sur des inégalités strictes.
A suivre...

Archytas
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Re: A la recherche d'entiers

par Archytas » 23 Juin 2022, 21:40

Saiga a écrit:J'ai peut-être une piste.
Mais il faut déjà que je démontre que pour n'est pas un entier, histoire de pouvoir ensuite travailler sur des inégalités strictes.
A suivre...


Je pense avoir trouvé une preuve de ce résultat mais elle est un peu technique. L'idée est de supposer que est effectivement un entier, disons et de montrer qu'alors est à la fois pair et impair (ce qui contredit l'hypothèse).

1) est impair :

On regarde l'équation modulo . On remarque facilement que pour pair et pour n'importe quel on a . Pour pair on a donc qui n'a pas de solution (multiplier par des deux côtés pour s'en convaincre).

Donc est impair. Disons pour la suite.

2) est pair :

Pour simplifier on pose .

L'idée est la suivante : on a par hypothèses et on va montrer que pour les de cette forme on a nécessairement d'ordre pair dans ce qui impliquera que est pair.

On pose la décomposition de en facteurs premiers. On va montrer que n'est pas un carré modulo l'un des au moins, ce qui est équivalent au fait que est l'ordre pair modulo et ce qui implique qu'il est d'ordre pair modulo . Il suffira de conclure à l'aide du théorème des restes qui dit en particulier que l'ordre de dans est le plus petit multiple commun des ordres modulo et est donc pair.

Pour ça on pose le symbole de Legendre de modulo qui vaut si est un carré modulo et sinon. Par la loi de réciprocité quadratique on a



En passant puissance le produit sur donne



Or on sait que qui est un carré car est impair.
On veut maintenant montrer que

On a,



Puisque est impair tous les sont impair, disons (donc ) ce qui donne



et en regardant ça modulo on a



Conclusion : donc au moins un des facteurs vaut Donc est d'ordre pair dans donc dans . Donc est pair.

Donc n'est jamais un entier.

Je sais que la démonstration est longue est technique mais je suis persuadé qu'on peut en trouver une plus courte avec des outils plus simples. Je ne sais pas du tout quel est ton niveau, désolé si c'est des outils que tu ne connais pas. Honnêtement, je ne m'attendais pas à devoir déployer un tel arsenal pour cette question. On voit le symbole de Legendre, la réciprocité quadratique, la structure de groupe de en M1 généralement. N'hésite pas à me demander des détails des affirmations que j'ai laissé sous le tapis (l'ordre d'un élément d'un produit de groupes est le plus petit multiple commun des ordres dans chaque composante, un élément est d'ordre pair dans les inversibles d'un corps fini si, et seulement si, ce n'est pas un carré, l'ordre de l'image d'un élément par la projection divise l'ordre de son antécédent etc.)

(ne te force pas à essayer de tout déchiffrer par politesse si tu n'y comprends rien, ça m'a fait super plaisir de réfléchir sur cette question).

PS : Dans le premier cas on montre plus généralement que si divise alors est impair et dans le second cas on montre que si divise avec impair alors pair. Le résultat final est juste une conséquence de ça pour

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 24 Juin 2022, 22:28

Wow, merci pour la réponse.
C'est plus compliqué que ce que j'imaginais. Et effectivement je ne connais pas certaines notions. Il va falloir que j'étudie ça tranquillement.

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 01 Juil 2022, 23:55

Archytas a écrit:Donc n'est jamais un entier.


Sauf que est un entier pour :lol:

Archytas
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Re: A la recherche d'entiers

par Archytas » 02 Juil 2022, 00:03

Saiga a écrit:
Archytas a écrit:Donc n'est jamais un entier.


Sauf que est un entier pour :lol:


Oui, en effet. Je considère la décomposition en facteurs premiers de ce qui sous-entend que auquel cas et l'utilisation du théorème des restes n'a pas vraiment de sens. Mais j'aurais dû le préciser :).

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 02 Juil 2022, 00:51

Pour le reste je pense avoir réussi à démontrer l'inégalité :
Je pose

Avec le premier terme on voit facilement que:



En invoquant le théorème des fonctions continues, on en déduit qu'il existe et





On en déduit que et





Ce sont des entiers de part et d'autre de l'égalité. En invoquant l'unicité de la décomposition en facteurs premiers :




Or
Donc , ,

D'après la démonmstration d'Archytas, la seule solution est donc (avec ).

Est-ce que j'ai tout bon ?

Archytas
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Re: A la recherche d'entiers

par Archytas » 02 Juil 2022, 01:17

Si je comprends bien, la contradiction vient du fait que ? Mais je ne comprends pas pourquoi tu peux supposer ça. Le fait que divise implique seulement qu'il existe tel que

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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 02 Juil 2022, 09:34

Hmm..
J'ai où A et B sont des entiers.
A cause de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, A est forcément un multiple de , non ?

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Re: A la recherche d'entiers

par Archytas » 02 Juil 2022, 12:40

Saiga a écrit:Hmm..
J'ai où A et B sont des entiers.
A cause de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, A est forcément un multiple de , non ?


Oui mais est un multiple de Si tu arrives à faire en sorte que de part et d'autre de ton équation les éléments que tu manipules sont des entiers positifs tu pourras conclure comme tu l'as fait. Sans ça tu dois travailler dans donc potentiellement avec des entiers négatifs.

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 02 Juil 2022, 14:59

Bonne remarque en effet.
Et ça risque bien de poser problème.
Il faut que je regarde ça de plus près.

Merci

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 03 Juil 2022, 11:50

En fait donc

Du coup :




Ce qui permet de conclure à peu près rien du tout. :/

Archytas
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Re: A la recherche d'entiers

par Archytas » 04 Juil 2022, 01:09

Oui, l'inégalité a l'air compliquée à montrer... je m'y repencherai peut-être quand j'aurai plus de temps si personne n'a trouvé d'ici là. Comment es-tu tombé sur ce problème ?

Saiga
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Re: A la recherche d'entiers

par Saiga » 07 Juil 2022, 12:52

En fait je cherche les entiers tels que est un entier strictement positif.

En cherchant des solutions je suis tombé sur l'inégalité en question, en pensant qu'elle serait simple à résoudre.

 

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