Raisonnements graphiques (niveau lycée, sections confondues)

[Kikoo <3 Bieber]

Salut, j'ai un défi un peu original ajourd'hui, pour les lycéens

Déterminer à chaque fois une représentation géométrique permettant d'estimer la valeur de ces sommes et séries :

Classement par ordre de difficulté :

1)
2)
3)
4)

Bonne chance !

[Mathusalem]

le but est d'estimer, où de donner exactement ?

[Kikoo <3 Bieber]

A leur niveau, estimer c'est déjà bien. Mais bien sûr, on peut essayer de "deviner" la bonne solution, c'est ce que je voulais dire.

[beagle]

Bonjour Kikoo,
tu as très peu de public niveau lycée qui vient faire des heures sup au forum défis.
Les Lostounet, Olympus et Kikoo sont peu nombreux.

Bon, alors comme je suis de niveau collège, j'ai le droit de répondre.
D'abord j'ai toujours aimé les correspondances, donc en regardant les différents exos scolaires sur ce forum, j'ai toujours aimé ceux dont l'algèbre répondait à la géométrie, comment l'une éclairait l'autre.
Donc ton exo est plus difficile à imaginer pour quelqu'un qui part de zéro.
Mais est beaucoup plus facile pour quelqu'un ayant déjà son (très) petit catalogue de correspondance.

Pour la 1), la ligne droite suffirait puisque c'est la flèche de Zénon,
mais pourtant j'aurais une préférence pour la mème méthode que pour la 4),
et je ferais les deux à partir d'une division de surface, division d'un carré (mais à part le triangle un peu péniblen d'autres surfaces conviendraient.
et je dirais que merci la 4), elle apporte un élément de réflexion supplémentaire argumentant la 1).
Enfin pour moi!

Pour la 2) et la 3), toujours le carré de nxn cette fois, on met du carrelage, des petits carrés,
et on s'en va compter des endroits où arrivent ces séries.Je l'avais fait pour la 3), mais cela prend deux secondes de trouver où sont les carrés pour la 2).

Voilà quelques pistes qui n'aideront personne puisque seuls liront ceux qui savent faire, mais bon.
Si nos pros ont d'autres images bien évocatrices, cela pourra ètre sympa de voir ce qu'ils ont en tète!

[hammana]

Bonjour Kikoo,

et je dirais que merci la 4), elle apporte un élément de réflexion supplémentaire argumentant la 1).
Enfin pour moi!

tète!

Bonjour Beagle,

Comme résultat de la réflexion supplémentaire, voilà comment j'expliquerai à un enfant de 5 ans que le quart, plus le quart du quart, plus le quart du quart du quart etc = un tiers/

Trois enfants veulent se partager équitablement un gâteau. Comme il est plus facile d'estimer la moitié que le tiers, je commence par couper le gâteau en 4 et je donne un morceau à chacun. Je fais de même avec le quart restant, et ainsi de suite jusqu'à ne plus distinguer de morceau restant. Chacun aura eu ainsi le tiers du gâteau.
Si Je dois partager le gâteau entre 7 enfants (il est imposssible d'estimer le septième) j'aurai démontré que
1/8+(1/8)²+...=1/7 .

[beagle]

Bonjour Beagle,

Comme résultat de la réflexion supplémentaire, voilà comment j'expliquerai à un enfant de 5 ans que le quart, plus le quart du quart, plus le quart du quart du quart etc = un tiers/

Trois enfants veulent se partager équitablement un gâteau. Comme il est plus facile d'estimer la moitié que le tiers, je commence par couper le gâteau en 4 et je donne un morceau à chacun. Je fais de même avec le quart restant, et ainsi de suite jusqu'à ne plus distinguer de morceau restant. Chacun aura eu ainsi le tiers du gâteau.
Si Je dois partager le gâteau entre 7 enfants (il est imposssible d'estimer le septième) j'aurai démontré que
1/8+(1/8)²+...=1/7 .

bravo hammana,
c'est encore plus simple que moi.
Je faisais gateau carré coupé en 4, j'en mange 1/4, il reste 1/2 à manger plus tard ou par quelqu'un d'autre = le reste,
et le dernier quart va servir à continuer la série,
idem j'en prends 1/4, reste 1/2, et encore 1/4 qui servira à continuer la série,
donc tout se passe comme si gain = à manger est moitié de perte = à garder pour partage rplus tard,
bref : gains + pertes = 1
gains + 2 gains = 1
gains = 1/3

Quel rapport avec la question 1:
bon, pour la 1 on noircit au fur et à mesure le carré et on s'aperçoit qu'il n' y a plus rien en blanc plus on avance dans la série.
bref si gains =1 c'est parce que aucune perte ne peut ètre mise de coté = acquise, comme dans la 4).
Où géométriquement, tout point placé du carré correspondra un jour à une zone noircie ou coloriée.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut à vous deux Beagle et hammana !

Je suis d'accord pour tes déductions beagle En ce qui concerne la série en 1/(2^k) on peut également envisager un gâteau, ou toute autre représentation graphique convenable fonctionnerait !

Pour les sommes des k et 2k-1 pour k allant de 1 à n, il est en effet préférable de prendre un "repère NxN" pour y travailler.

En ce qui concerne finalement la série en 1/(4^k), je n'avais pas pensé de la même façon que toi hammana, mais de toute manière la représentation graphique que j'ai envisagée s'approche de la tienne (même s'il faut d'emblée connaitre la réponse dans ton cas, pour pouvoir l'expliquer) :
Il suffit de partager un carré 1*1 en 4, puis recommencer avec un carré (1/4)*(1/4), et ainsi de suite, puis paver l'ensemble défini par la série.
On peut penser par trissection de l'aire du carré 1*1 que la série converge vers 1/3 :



Finalement c'était bien original de partir du "sens réciproque" pour arriver au problème

[beagle]

Joli dessin Kikoo, bien parlant !

[chan79]

Joli dessin Kikoo, bien parlant !

zut, grillé par Kikoo :zen:
je mets quand même mon dessin



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[chan79]

Salut
Autre partage bien connu pour la 4

[hammana]

Salut
Autre partage bien connu pour la 4

Encore un point de vue

http://img46.imageshack.us/img46/3332/quartm.jpg

Si a est le côté du grand carré, et MN=a/3, La droite ND enlève de chaque carré ce qu'elle ajoute au suivant. L'aire du trapèze MNDC=a²/3.

[Kikoo <3 Bieber]

J'affiche l'image de hammana pour plus de lisibilité :

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