Quelques inégalités simples

[Olympus]

Salut !

Voici des inégalités vraiment simples pour Steph ( et je ne sais plus qui d'autre en voulait aussi ) :

1) Montrer que pour tous réels : .

2) Montrer que pour tous réels strictement positifs : .

3) Montrer que pour tous réels : .

4) Montrer que pour tous réels strictement positifs tels que : .

5) Montrer que pour tous réels positifs tels que :

6) Soient les longueurs des côtés d'un triangle telles que . Montrer que .

7) Soient les longueurs des côtés d'un triangle. Montrer que .

8) Soient les longueurs des côtés d'un triangle non aplati. Montrer que .

Amusez-vous bien

[Jota Be]

Salut Olympus !
J'ai essayé de faire le 8 (il me semblait plus à la portée de mes moyens) mais j'arrive à trouver que l'inverse du terme de gauche est supérieur ou égal à 3, ce qui est vraiment bizarre, et pourtant, cela semble juste !
Y a-t-il une erreur dans l'énoncé ou est-ce moi qui me trompe ?

Ah en fait non, j'ai trouvé, grâce à des figures. :mur:
Je poste ma réponse :

Comme on se trouve dans un triangle ABC non aplati de côtés a, b et c (qui sont donc des nombres réels positifs), on peut dire :
ainsi que et (à noter qu'il y a égalité (ie : b+c-a=a) ssi ABC est équilatéral,)
d'où ainsi et pareil pour les deux autres égalités (l'inversion est possible puisque nous nous trouvons dans un triangle non plat donc )
en additionnant les trois inégalités, nous obtenons l'inégalité attendue.

[Olympus]

Salut Jota !

Non, l'énoncé est bien correct :happy3:

[Jota Be]

Salut Jota !

Non, l'énoncé est bien correct :happy3:

Oui oui, je me suis repris :lol3:

[Jota Be]

Non, en fait non, je me rends compte que ce que je dis est faux... Je vais essayer de relever la barre.

[laya]

Non, en fait non, je me rends compte que ce que je dis est faux... Je vais essayer de relever la barre.

Oui, tu n'as pas a+b-c c, b+c > a, c+a > b. Les dénominateurs sont strictement positifs.

Un conseil : c'est toujours mieux de travailler avec des conditions du type x > 0, y > 0, z > 0 plutôt que
a+b > c, b+c > a, c+a > b. Tu peux alors poser : x = b+c-a, y = a+c -b , z = a +b -c, tu réécris l'inégalité pour qu'il n'y ait plus de a, b ou c dedans.

Rq : la somme d'un nombre strictement positif et de son inverse est toujours supérieure à 2.

[Jota Be]

Oui, tu n'as pas a+b-c c, b+c > a, c+a > b. Les dénominateurs sont strictement positifs.

Un conseil : c'est toujours mieux de travailler avec des conditions du type x > 0, y > 0, z > 0 plutôt que
a+b > c, b+c > a, c+a > b. Tu peux alors poser : x = b+c-a, y = a+c -b , z = a +b -c, tu réécris l'inégalité pour qu'il n'y ait plus de a, b ou c dedans.

Rq : la somme d'un nombre strictement positif et de son inverse est toujours supérieure à 2.

Merci Laya,
justement, j'avais déjà prouvé cette inégalité il y a quelques jours ! Cependant, je ne vois pas comment l'imbriquer dans ma démonstration... Je m'y remettrai demain.

[Lumix]

Bonjour,

Spoiler :

1°) Développer + IAG
2°) Réordonnement
3°) IAG
4°) Développement + IAG
5°) 1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0 et 2 réordonnements sur inégalité homogénéisée
6°) Je bloque
7°) Ravi + 3IAG
8°) Ravi + 3IAG

[Olympus]

Salut !

@Lumix : Pour la 6) tu te sers 2 fois de l'inégalité triangulaire et tu conclus :we:

[Stephanelam]

Salut Olympus,

Je m'y mets dès que j'ai le temps, merci :we:

[koddo]

Bonjour voici une proposition de réponse à la question 4
On a : (1+1/x) (1+1/y ) -9= ((x+1)/x) ( (y+1)/y ) – 9
= (xy+x+y+1)/xy -9 or x+y=1 donc on aura
=(xy+2)/xy -9 en réduisant au même dénominateur on obtient
=(xy+2)/xy -9xy/xy
= (-8xy+2)/xy en remplaçant au numérateur y par 1-x on obtient
=(-8x(1-x)+2)/xy
= (8x^2-8x+2)/xy
= (2(4x^2-4x+1))/xy
=2(2x-1)^2/xy or xy>0 et (2x-1)^2 >0 donc
2(2x-1)^2/xy >0 donc (1+1/x) ( 1+1/y ) -9>0 d’où : (1+1/x) ( 1+1/y ) >9

[Olympus]

Salut !

Pour la 4), ça me va. Autre méthode, on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz ( ou sans elle, simplement en développant et en remarquant une identité remarquable ). Or , donc , d'où le résultat :happy2:

[nee-san]

bonsoir, pour stephanelam,

montrer que:

pour a;b et c positif bien sur

[koddo]

bonsoir, pour stephanelam,

montrer que:

pour a;b et c positif bien sur

Si vous le permettez a, b et c étant trois réels positifs on :
a+b>2;)ab de même a+c >2;)(ac ) et b+c >2;)bc
En multipliant membre à membre les trois inégalités qui ne contiennent que des quantités positives on obtient : (a+b)(b+c)(a+c)>8;)(c^2 b^2 a^2 ) d’où le résultat (a+b)(b+c)(a+c)>8abc

[nee-san]

Si vous le permettez a, b et c étant trois réels positifs on :
a+b>2;)ab de même a+c >2;)(ac ) et b+c >2;)bc
En multipliant membre à membre les trois inégalités qui ne contiennent que des quantités positives on obtient : (a+b)(b+c)(a+c)>8;)(c^2 b^2 a^2 ) d’où le résultat (a+b)(b+c)(a+c)>8abc

çà a l'air correct,

bon steph( j’abrège le nom si tu veut), voici une autre inégalité d'un niveau assez facile si tu la pas encore faite:

soit et
montrer que
sinon pour celle d'avant tu peut aussi faire par factorisation est obtenir des carrer

[Olympus]

@nee-san : déjà proposée dans la 4) ton inégalité ^^

[yahumi]

salut une inégalité que j'arrive pas à démontrer
soit a;b positifs et ab démontrez que ( a /4+b²) +( b /a²+4 ) ;)1/2

[cheria2010]

salut tout le monde

pour (-1) :
pour tous a et b de on :
alors
en sommant :
en multipliant par et trouve la reponse .

[nee-san]

Salut !

Pour la 4), ça me va. Autre méthode, on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz ( ou sans elle, simplement en développant et en remarquant une identité remarquable ). Or , donc , d'où le résultat :happy2:

bonjour, dsl de revenir sur le sujet, mais je voie pas comment tu passe du resultat que tu as avec le 2 à l'inégalité de depart?

[manoa]

bonjour, dsl de revenir sur le sujet, mais je voie pas comment tu passe du resultat que tu as avec le 2 à l'inégalité de depart?

Lu!

^^