Quatre cercles dans un triangle

[chan79]

Petit défi niveau lycée
Bien-sûr, on demande la valeur exacte

[Imod]

C'est immédiat si on sait que

Imod

[chan79]

C'est immédiat si on sait que

Imod

C'est vrai

[hammana]

C'est vrai

Construction géométrique du centre des cercles ?

[upium666]

C'est immédiat si on sait que

Imod

Vous pouvez expliciter votre démarche s'il vous plaît ?

[chan79]

Vous pouvez expliciter votre démarche s'il vous plaît ?

Salut
Vois le triangle vert

[Imod]

Pour répondre à Hammana , la construction ne pose aucun problème .

Tu regardes le dessin de Chan et tu observes le triangle qui prolonge le triangle jaune . En mesurant 75° sur le pied de la hauteur tu récupères le centre du cercle en haut à gauche , les autres suivent .

Imod

[Imod]

Pour répondre à Hammana

La construction est immédiate . Je me réfère à la figure de Chan , au pied de la hauteur issue de C on construit un angle de tangente 1/3 et on récupère un des centres , les autres suivent .

Imod

[chan79]

Pour répondre à Hammana

La construction est immédiate . Je me réfère à la figure de Chan , au pied de la hauteur issue de C on construit un angle de tangente 1/3 et on récupère un des centres , les autres suivent .

Imod

J'avais fait comme ça !
Les segments rouges et bleus font tous 1/2

[Imod]

Oui Chan , ça revient exactement à ce que j'ai dit :zen:

Imod

[hammana]

Oui Chan , ça revient exactement à ce que j'ai dit :zen:

Imod

Pour aller un peu plus loin:

Etant donné un triangle quelconque ABC, construire 4 cercles égaux, tangents entre eux et aux côtés du triangle comme indiqué dans la figure jointe.
[img]http://imageshack.us/photo/my-images/22/trianglem.jpg[/img]

[chan79]

Pour aller un peu plus loin:

Etant donné un triangle quelconque ABC, construire 4 cercles égaux, tangents entre eux et aux côtés du triangle comme indiqué dans la figure jointe.
[img]http://imageshack.us/photo/my-images/22/trianglem.jpg[/img]

Salut hammada
Tu me coupes l'herbe sous le pied :zen: J'avais prévu cette suite (trouver la valeur exacte du rayon des cercles):

[hammana]

Salut hammada
Tu me coupes l'herbe sous le pied :zen: J'avais prévu cette suite (trouver la valeur exacte du rayon des cercles):

Bonsoir Chan !

Je dirai plutôt que nous avons maintenant 2 problèmes sur le tapis:
- une construction géométrique
- et un calcul.

Je travaille actuellement sur le calcul.

[Imod]

Bonsoir à tous :zen:

Je n'ai aucun temps libre en ce moment mais quand j'aurai un moment j'essaierai plutôt la construction des quatre cercles dans un triangle quelconque .

Le problème de Chan semble plus "classique" .

Imod

[chan79]

Bonsoir Chan !

Je dirai plutôt que nous avons maintenant 2 problèmes sur le tapis:
- une construction géométrique
- et un calcul.

Je travaille actuellement sur le calcul.

Salut
Pour la construction, quatre cercles bleus de rayon quelconque posés n'importe où le long de [BC], une translation et une homothétie. Ca se fait à la règle et au compas (même si ces instruments me semblent en voie de disparition ...). Peut-être y a-t-il quelque chose de plus rapide...

[Dacu]

Le rayon d'un des quatre cercles est où sont les côtés du triangle ABC et R est le rayon du cercle circonscrit au triangle.

[Imod]

Bonsoir

Le cas du triangle rectangle 2-1 ne m'emballe vraiment pas , pour le cas général j'arrive à :

où est la hauteur issue de .

Je n'ai pas vérifié si c'était compatible avec la formule de Dacu .

Sinon la construction des quatre cercles de Chan est correcte et plutôt simple :++:

Imod

[chan79]

Bonsoir

Le cas du triangle rectangle 2-1 ne m'emballe vraiment pas , pour le cas général j'arrive à :

où est la hauteur issue de .

Je n'ai pas vérifié si c'était compatible avec la formule de Dacu .

Sinon la construction des quatre cercles de Chan est correcte et plutôt simple :++:

Imod

Bravo pour ces deux formules qui donnent le même résultat correct.
Pour la formule de Dacu, je ne vois pas à quoi correspondent l'indice x et le .
Pour la construction, elle est valable si les angles en B et C sont aigus. Dans le cas contraire, il faut voir quels cercles on veut dessiner exactement.

[Dacu]

Bravo pour ces deux formules qui donnent le même résultat correct.
Pour la formule de Dacu, je ne vois pas à quoi correspondent l'indice x et le .

Salut!
Le rayon du cercle inscrit d'un triangle ABC est marqué avec et pour ne pas être toute confusion j'ai noté le rayon du cercle cherché avec .Tu as raison et j'ai supprimé le symbole du triangle .
Au revoir!

[hammana]

Salut!
Le rayon du cercle inscrit d'un triangle ABC est marqué avec et pour ne pas être toute confusion j'ai noté le rayon du cercle cherché avec .Tu as raison et j'ai supprimé le symbole du triangle .
Au revoir!

Bonsoir à tous ceux qui ont apporté leur contribution à ce problème.

Je voudrais d'abord commenter la phrase de Chan:

"Ca se fait à la règle et au compas (même si ces instruments me semblent en voie de disparition ...)"

Autrefois on écrivait avec la plume sergent-major, pour bien faire les pleins et les déliés. Le stylo était interdit aux élèves parce qu'il gâtait la calligraphie (on ne parle plus de calligraphie). Puis le stylo a détrôné la plume, le BIC a détrôné le stylo, Word a détrôné le BIC, la reconnaissance vocale est en train de détrôner Word, peut-être que la transmission de la pensée va rendre caduque la reconnaissance vocale.

La construction géométrique de Chan montre que certains problèmes sont plus faciles à résoudre quand on les prend "à l'envers". Je trouve une grande analogie avec la méthode de la "fausse supposition" utilisée pour résoudre certains problèmes par un raisonnement arithmétique plutôt que par des équations algébriques.



Si O est milieu de BC, BC=2a, angle ABC=u, angle ACB=v, OM=d

Je trouve:

r=2*a*sin(u)*sin(v)/((1+3*cos(u)+sin(u))*sin(v)+(1+3*cos(v)+sin(v))*sin(u))
d=r*(1+3*cos(u)+sin(u))/sin(u)-a

Je souhaiterai que ceux qui ont trouvé de belles formules (s'il en ont le temps) de donner une description, du moins sommaire, de la méthode de calcul.