Quadrilatère

[MMu]

Soit un quadrilatère convexe et un point à l'intérieur .
Montrer qu'il existe un angle . :zen:

[nodjim]

Salut MMu,
La somme des angles intérieurs fait 2Pi. S'ils sont tous égaux, ils valent tous Pi/2, sinon, il y a en a au moins un qui fait moins de Pi/2. Le segment reliant P à ce sommet coupe l'angle en 2 deux dont au moins 1 des 2 fait moins de la moitié.
Donc parmi tous les angles aux sommets qui rejoignent P, Soit ils font tous Pi/4, soit au moins l'un d'eux fait moins de Pi/4.

[Imod]

Et qui te dit qu'il ne s'agît pas de ?

Imod

[MMu]

Une aide :bad2: . Montrer qu'il existe : .. :zen:

[MMu]

:ptdr: Personne ? Trop dur pour ce forum .. :smoke:

[beagle]

beson d'une aide?
Soit un point P
Soit un point A0
A1 tel que angle PA0A1 = 90+alpha0
A2 tel que angle PA1A2 = 90+alpha1
A3 tel que angle PA2A3 = 90+alpha 2

alors A1, A2,A3 sont dans le mème demi-plan par rapport à la droite (PA0)
= P est en dehors de A0A1A2A3

[Imod]

@Beagle

Tu n'aurais pas confondu 45° et 90° par hasard :zen:

Imod

[beagle]

@Beagle

Tu n'aurais pas confondu 45° et 90° par hasard :zen:

Imod

non , j'ai pas confondu, en fait c'est plus grave, c'est de l'ignorance,
euh, c'est combien de pis 45 et 90 degrés?

[Imod]

180 degrés = pi radians .

Imod

[beagle]

180 degrés = pi radians .

Imod

ah oui d'accord.
Bon alors je suppose que 3+1=0 dans l'énoncé,
c'est cela, un des 4 angles?

PS: si 3angles car 3+1 ne fait plus 0, alors c'est pi/2, comme j'ai fait, ou bien aucun rapport?

[beagle]

Bon , le fil n'étant pas trop encombré, je peux polluer un peu.

Donc soit montrer que somme des 4 angles i,i+1 = somme des 4 angles i,i-1 = 180,
auquel cas on ne peut avoir 4 x +de45,
mais je sais pas faire.

soit dans l'idée d'hier, démonstration par l'absurde (Léon n'est pas là en ce moment),
on prend un point P,
on met A0 puis A1 puis A2, avec plus de 45 degrés,
and then if on trace une droite A2A3, avec angle qs sup 45 degrés, cette droite ne coupera pas cette fois le quadrant supérieur gauche avec P origine A0 au-dessus.
Donc? on ne pourra avoir un point A3 tel que angle PA3A0 sup 45 degrés.
(bien sur si A3 reste dans le quadrant supérieur droit, then P est en dehors du quadrialtère)

C'est peut-ètre toujours pas le problème posé, c'est peut-ètre toujours une impasse de démonstration,c'est peut-ètre complètement faux,
mais c'est ma réponse.

[MMu]

Voici comment je commencerais :
.... etc ...

Do you follow me ? :zen:

[Imod]

Bon je l'ai :zen:

On ne peut pas dire que les indices étaient vraiment lumineux :id:

Je l'ai fait pour un triangle en montrant que l'un des angles est inférieur ou égal à 30° mais la méthode est la même pour tout polygone convexe .

On note a,a',b,b',c,c' les angles aux sommets du triangle alors la loi des sinus nous donne :

sina.sinb.sinc=sina'.sinb'.sinc'=S .

Avec quelques manipulations d'inégalités sur lesquelles je me plante régulièrement on arrive à : donc l'un des sina ou sina' est inférieur à 0.5 donc l'un des angles est inférieur à 30° .

Imod

PS : pour n côtés , l'un des angles est inférieur à 90(n-2)/n .

[MMu]

Bon je l'ai :zen:
On ne peut pas dire que les indices étaient vraiment lumineux :id:
Je l'ai fait pour un triangle en montrant que l'un des angles est inférieur ou égal à 30° mais la méthode est la même pour tout polygone convexe .
On note a,a',b,b',c,c' les angles aux sommets du triangle alors la loi des sinus nous donne :
sina.sinb.sinc=sina'.sinb'.sinc'=S .
Avec quelques manipulations d'inégalités sur lesquelles je me plante régulièrement on arrive à : donc l'un des sina ou sina' est inférieur à 0.5 donc l'un des angles est inférieur à 30° .
Imod
PS : pour n côtés , l'un des angles est inférieur à 90(n-2)/n .

OK tu l'as mais .. n'oublie pas si par ex on peut avoir mais aussi ..
Ton début à savoir est sur le bon chemin, mais ta conclusion
" l'un des sina OU sina' est inférieur à 0.5 " , est banale et n'a pas besoin de tout ce développement !
Il faut dire plutôt que " l'un des sina est ET l'un des sina' est "
De même dans le cas général il y a DEUX angles ..
D'autre part , pour l'édification de la jeunesse (sic!) c'est bien d'expliquer comment tu arrives à tout ça :lol3:

Do you agree ? :zen:

[Imod]

Mon ou est du langage commun , il s’interprète clairement comme un et .

Pour l'arcsin je n'ai pas trop réfléchi aux deux cas mais il me semble que ça revient au même .

Pour le détail des inégalités seulement pour un triangle et pour l'édification de la jeunesse :zen:

l'inégalité arithmétiquo-géométrique :



et comme le sinus est concave entre 0° et 180° :

.

On a donc

Imod

[chan79]

Mon ou est du langage commun , il s’interprète clairement comme un et .

Pour l'arcsin je n'ai pas trop réfléchi aux deux cas mais il me semble que ça revient au même .

Pour le détail des inégalités seulement pour un triangle et pour l'édification de la jeunesse :zen:

l'inégalité arithmétiquo-géométrique :



et comme le sinus est concave entre 0° et 180° :

.

On a donc

Imod

Bravo! Très astucieux :++: