Quadrilatère partagé en 9 parties

[hammana]

On considère un quadrilatère quelconque ABCD
On partage chaque côté en 3 segments égaux, on joint les sommets de ces segments de manière à partager le quadrilatère ABCD en 9 quadrilatères (voir figure)



http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=122534quadrilatere.jpg
Montrer que les segments IF et JE partagent les segments KH et LG en trois segments égaux et vice versa.

Montrer que l'aire du quadrilatère central MNPQ est le neuvièma de l'aire du quadrilatère principal ABCD.

[chan79]

On considère un quadrilatère quelconque ABCD
On partage chaque côté en 3 segments égaux, on joint les sommets de ces segments de manière à partager le quadrilatère ABCD en 9 quadrilatères (voir figure)



http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=122534quadrilatere.jpg
Montrer que les segments IF et JE partagent les segments KH et LG en trois segments égaux et vice versa.

Montrer que l'aire du quadrilatère central MNPQ est le neuvièma de l'aire du quadrilatère principal ABCD.

Salut
Une démo que j'avais dans mes archives
Il faut penser à l'associativité du barycentre.
On considère par exemple le barycentre de {(A,2),(B,1),(C,2),(D,4)}
c'est le barycentre de {(J,6),(E,3)} et aussi celui de {(K,6),(H,3)}
c'est le point aligné avec J et E et aussi avec H et K. C'est donc Q et KQ=1/3 KH et JQ=1/3 JE
Ensuite, on envisage d'abord ce cas:
[img][IMG]http://img856.imageshack.us/img856/4900/az4.png[/img]

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[img][IMG]http://img826.imageshack.us/img826/5805/az2y.png[/img]

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Soit S l'aire de ABCD
a+b=1/3 S
2x+2y=2/3 S
x+y=1/3 S
Résultat final 1/3 * 1/3 = 1/9

[hammana]

Salut
Une démo que j'avais dans mes archives
Il faut penser à l'associativité du barycentre.
On considère par exemple le barycentre de {(A,2),(B,1),(C,2),(D,4)}
c'est le barycentre de {(J,6),(E,3)} et aussi celui de {(K,6),(H,3)}
c'est le point aligné avec J et E et aussi avec H et K. C'est donc Q et KQ=1/3 KH et JQ=1/3 JE
Ensuite, on envisage d'abord ce cas:
[img][IMG]http://img856.imageshack.us/img856/4900/az4.png[/img]

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Soit S l'aire de ABCD
a+b=1/3 S
2x+2y=2/3 S
x+y=1/3 S
Résultat final 1/3 * 1/3 = 1/9

Belles démonstrations Chan !

Pourrais-tu détailler la dernière ligne "Résultat final 1/3 * 1/3 = 1/9"

Ces démonstrations très élégantes ne viennent pas naturellement à l'esprit. Je signale à ceux qui voudraient encore travailler la question qu'on peut les faire par des méthodes classiques. En particulier la démonstration de l'égalité des segments sur EJ, FI, KH, LG est du niveau de la classe de 4ème.

[chan79]

Pourrais-tu détailler la dernière ligne "Résultat final 1/3 * 1/3 = 1/9"

.

[img][IMG]http://img708.imageshack.us/img708/4904/79039948.png[/img]

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J et I partagent [DC] en trois segments égaux
E et F partagent [AB] en trois segments égaux
D'après la démonstration précédente , l'aire de EFIJ est égale au tiers de celle de ABCD. (1)
De la même façon,
M et Q partagent [EJ] en trois segments égaux
P et N partagent [IF] en trois segments égaux
donc l'aire de MNPQ est égale au tiers de celle de EFIJ (2)
D'après (1) et (2), l'aire de MNPQ est égale au tiers du tiers de l'aire de ABCD.
1/3 * 1/3 = 1/9

[hammana]

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J et I partagent [DC] en trois segments égaux
E et F partagent [AB] en trois segments égaux
D'après la démonstration précédente , l'aire de EFIJ est égale au tiers de celle de ABCD. (1)
De la même façon,
M et Q partagent [EJ] en trois segments égaux
P et N partagent [IF] en trois segments égaux
donc l'aire de MNPQ est égale au tiers de celle de EFIJ (2)
D'après (1) et (2), l'aire de MNPQ est égale au tiers du tiers de l'aire de ABCD.
1/3 * 1/3 = 1/9

Merci Chan

[chan79]

Belles démonstrations Chan !

Je n'ai fait que les reproduire, elles ne sont pas de moi ... :zen:

Ces démonstrations très élégantes ne viennent pas naturellement à l'esprit. Je signale à ceux qui voudraient encore travailler la question qu'on peut les faire par des méthodes classiques. En particulier la démonstration de l'égalité des segments sur EJ, FI, KH, LG est du niveau de la classe de 4ème.

Ca m'intéresserait de savoir comment on pourrait présenter ça en classe de 4°, mais je vais tâcher de chercher un peu ...

[hammana]

Je n'ai fait que les reproduire, elles ne sont pas de moi ... :zen:



Ca m'intéresserait de savoir comment on pourrait présenter ça en classe de 4°, mais je vais tâcher de chercher un peu ...

Je suis parti d'une propriété plus simple et plus facile à démontrer:

Les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère forment un parallélogramme. Par analogie ...

[chan79]

Je suis parti d'une propriété plus simple et plus facile à démontrer:

Les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère forment un parallélogramme. Par analogie ...

Merci, hammana; je vais y regarder

[Dlzlogic]

Bonjour,
Moi, je pensais plutôt à l'affinité qui conserve les rapports de distance. Par 2 affinités bien choisies, on peut transformer le quadrilatère en un rectangle. Pour l'aire, c'est peut-être un peu plus complique. Mais si on sait qu'on ne change pas l'aire d'un rectangle par déplacement d'un de ses sommet parallèlement au côté opposé, on devrait s'en sortir.

[Doraki]

Tous les petits rectangles n'ont pas la même aire, donc on ne peut pas passer du quadrilatère à un rectangle par une transformation affine du plan (dont les affinités).

[chan79]

[quote]

salut
pour compléter encore un peu
si on ajoute les aires de deux quadrilatères de même couleur, on obtient le double de l'aire du quadrilatère noir central
[img][IMG]http://img42.imageshack.us/img42/1567/77185179.png[/img]

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[Imod]

Je signale à ceux qui voudraient encore travailler la question qu'on peut les faire par des méthodes classiques. En particulier la démonstration de l'égalité des segments sur EJ, FI, KH, LG est du niveau de la classe de 4ème.

Par curiosité j'aimerai bien voir cette démonstration .

Imod

[hammana]

Par curiosité j'aimerai bien voir cette démonstration .

Imod

Salut,

Joignez LE, DB, JG
LE // à DB et LE=DB/3
JG // à DB et JG=2DB/3 (Th. de Thalès)
donc LE // à JG, LE=JG/2, ME=JM/2, ME est au tiers de JE (Thalès).
Démonstration similaire pour tous les autres segments

[Imod]

JG=2DB/3 (Th. de Thalès) LE // à JG.

Malheureusement ce passage n'est pas de niveau 4ème mais en 3éme ça passe sans problème ( avec beaucoup d'aide quand même ) .

Une remarque amusante : l'aire d'un quadrilatère coincé entre deux autres est la moyenne des aires de ces deux quadrilatères :we:

Imod

[hammana]

salut
pour compléter encore un peu
si on ajoute les aires de deux quadrilatères de même couleur, on obtient le double de l'aire du quadrilatère noir central
[img][IMG]http://img42.imageshack.us/img42/1567/77185179.png[/img]

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Et aussi, l'aire d'un quadrilatère qque, jaune, vert, ou noir, est égale à la demi-somme des aires des quadriltères qui l'encadrent.

Ci-dessous, un exemple de répartiton des aires des 9 quadriltères

Code: Tout sélectionner

0.1396        0.094         0.0484
0.1566        0.1111        0.0655
0.1737        0.1282        0.0826

end

[chan79]

Salut,

Joignez LE, DB, JG
LE // à DB et LE=DB/3
JG // à DB et JG=2DB/3 (Th. de Thalès)
donc LE // à JG, LE=JG/2, ME=JM/2, ME est au tiers de JE (Thalès).
Démonstration similaire pour tous les autres segments

Bravo, c'est astucieux
A noter que la réciproque de la propriété de Thalès ne se voit qu'en troisième, ainsi que le cas "papillon" pour la propriété directe
...
Je n'avais pas vu la même remarque d'Imod

[hammana]

Bravo, c'est astucieux
A noter que la réciproque de la propriété de Thalès ne se voit qu'en troisième, ainsi que le cas "papillon" pour la propriété directe
...
Je n'avais pas vu la même remarque d'Imod

J'ai simplement vu qu'il est question du théoréme de Thalès dans le livre de mathématiques de 4ème. N'étant pas actif dans l'enseignement, j'ai dû mal juger du niveau des élèves.