par olivthill » 14 Avr 2007, 09:53
On voit que les puissances de 5 (5,25,125,...) se terminent toutes par 5, car 5x5=25.
On voit que les puissances de 2 (2,4,8,16,...) se terminent par 6 uniquement pour 16, 256, ..., c'est-à-dire pour les puissances de 16, car 6x6=36.
N.B. cela a déjà été dit, en termes plus savants, par scelerat.
Maintenant, il me semble que la suite du raisonnement consiste à passer par les logarithmes.
Pour avoir une différence de une unité, on cherche x et y tels que
5^x - 16^y = 0
Cette équation est équivalente, si je ne me trompe pas, à
x.ln(5) - y.ln(16) = 0
C'est comme si on avait deux droites dans un plan, l'une ayant ln(5) comme coefficient directeur, et l'autre ayant ln(16) comme coefficient directeur, et que l'on cherche leur point d'intersection. On voit qu'elle se croisent uniquement en 0.
Je crois que le problème se généralise dans l'étude de la fonction
x.ln(a) - y.ln(b).