Puissances copremières infiniment dérivables

par **Nightmare** » 18 Jan 2011, 20:19

Hello,

j'ai l'impression d'avoir déjà rencontré cet exo sur le forum, mais je ne le retrouve pas. Dans le doute, je le poste pour ceux qui ne le connaissent pas.

Soit une application. On suppose qu'il existe p et q premiers entre eux tels que les applications et sont infiniment dérivables.

Montrer que f est infiniment dérivable.

NB : f^p signifie f*f*...*f et non fofo...of

Bonne réflexion.
:happy3:

par **benekire2** » 18 Jan 2011, 22:33

Salut !
Merci du partage :we:

par **Monsieur23** » 18 Jan 2011, 22:38

Aloha,

Zut, ça a l'air facile, pis j'y arrive pas.

J'ai tout juste pu remarquer que c'était évident si f ne s'annule pas...

par **ffpower** » 19 Jan 2011, 01:06

Euh t'es sur de ton coup là? Cet exo sans aucune question intermédiaire c'est même pas la peine...Ou alors t'as une solution 10 fois plus simple que celle que je connais..

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 01:37

J'ai une solution et, à moins d'avoir écrit n'importe quoi ce dont je doute après plusieurs relecture, je n'ai pas particulièrement lutté pour la trouver. Cela dit, dans la feuille de TD, il est proposé une indication, c'est de montrer au préalable que si une fonction f est infiniment dérivable et équivalente à x^n pour un certain n, alors f/x^n est infiniment dérivable. Comme je ne trouve pas l'indication "essentielle", je l'ai effacée.

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 01:41

Monsieur23 a écrit:Aloha,

Zut, ça a l'air facile, pis j'y arrive pas.

J'ai tout juste pu remarquer que c'était évident si f ne s'annule pas...

Oui, effectivement, au voisinage des points où f ne s'annule pas, c'est le théorème de B..... qui nous permet de conclure immédiate qu'elle y est infiniment dérivable. Tout le problème se trouve aux points où elle s'annule.

par **ffpower** » 19 Jan 2011, 11:29

Equivalente à x^n ça veut dire que les n-1 premieres dérivées de f sont nulles en 0 et que la dérivée n-ieme est non nulle? ( je ne connaissais pas ce terme)

J'attend de voir comment tu procèdes pour les points ou toutes les dérivées de f^p,f^q sont nulles..

par **Doraki** » 19 Jan 2011, 12:03

si y'a un entier n tel que f^n (x) a toutes ses dérivées nulles en un point (on va dire 0), alors
f^n(x) = o(x^(nk)) pour tout k, et donc f(x) = o(x^k) pour tout k, ça devrait suffire pour dire que f est infiniment dérivable en 0, nan ?

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 13:27

ffpower a écrit:Equivalente à x^n ça veut dire que les n-1 premieres dérivées de f sont nulles en 0 et que la dérivée n-ieme est non nulle? ( je ne connaissais pas ce terme)

Euh non, ici équivalent, c'était équivalent, f/x^n tend vers 1, quand x tend vers 0.

J'attend de voir comment tu procèdes pour les points ou toutes les dérivées de f^p,f^q sont nulles..

A t'entendre, ça a l'air compliqué, pourtant j'ai plutôt "expédié" ce cas :

Si le DL de f^p ou f^q est nul, f^p ou f^q est nulle au voisinage de 0, donc f aussi, et en particulier y est infiniment dérivable non?

par **Doraki** » 19 Jan 2011, 13:40

on t'a jamais montré e^(-1/x²) en 0 ?

(et je suis pas du tout certain de mon truc plus haut, genre sin(exp(1/x^4))/exp(1/x^2) ça doit faire des trucs bizarres, genre o(x^n) pour tout n mais pas C infinie du tout en 0)

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 14:28

Doraki a écrit:on t'a jamais montré e^(-1/x²) en 0 ?

Je comprends pas trop le rapport :triste:

par **Doraki** » 19 Jan 2011, 14:30

la fonction et toutes ses dérivées sont nulles en 0 mais pourtant la fonction n'est pas identiquement nulle.

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 14:31

Bref je suis de plus en plus sûr de mon coup : On travaille en des points où f s'annule (donc f^p et f^q) aussi. Si toutes les dérivées de f^p ou f^q sont nulles, alors comme je l'ai dit f est nulle au voisinage de 0 donc en particulier y est infiniment dérivable. Sinon, il existe au moins un exposant n tel que

(on peut supposer que le point où f s'annule est 0) et on applique l'indication (ce n'est pas terminé).

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 14:37

Doraki a écrit:la fonction et toutes ses dérivées sont nulles en 0 mais pourtant la fonction n'est pas identiquement nulle.

exact.....

par **ffpower** » 19 Jan 2011, 16:13

Doraki a écrit:si y'a un entier n tel que f^n (x) a toutes ses dérivées nulles en un point (on va dire 0), alors
f^n(x) = o(x^(nk)) pour tout k, et donc f(x) = o(x^k) pour tout k, ça devrait suffire pour dire que f est infiniment dérivable en 0, nan ?

J'avais bien lu une solution de ce genre dans un AMM, mais à mon avis, c'est une solution foireuse. Faudrait déjà définir ce que ça veut dire rigoureusement, "infiniment dérivable en 0". Ton contrexemple a l'air assez efficace d'ailleurs..

Nightmare a écrit:Euh non, ici équivalent, c'était équivalent, f/x^n tend vers 1, quand x tend vers 0.

Ah euh oui ok, je crois bien que je connaissais cette définition en fait XD

par **Anonyme** » 19 Jan 2011, 16:19

Moi j'aurais tendance a démontrer que f est infiniment dérivable en deux étapes:
(1) on montre qu'elle est infiniment dérivable la ou elle ne s'annule pas.
(2) elle est infiniment dérivable ou elle s'annule.

Pour (1) je montre que pour tout n dans N , si g est infiniment dérivable alors

l'est aussi. Et comme g ne s'annule pas sur l'intervalle étudiée alors

est infiniment dérivable. Par suite on a que si g est infiniment dérivable alors

l'est aussi avec Z entier relatif.
Aussi je montre que si

et

sont infiniment dérivables alors

est aussi infiniment dérivable.

Ceci étant fait j'attaque le problème:
p et q sont 1er entre eux donc il existe deux entier relatifs u et v tel que up+vq=1

Or daprès nos lemmes précédant

est infiniment derivable la ou elle ne s'annule pas.

Reste plus qu'a montrer que f est infiniment dérivable la ou elle s'annule.

Qu'en pensez vous jusque la ?

par **benekire2** » 19 Jan 2011, 16:56

Salut Qmath !!

Tout ce que tu a mis est juste ... j'ai fais pareil pour cette première partie.

par **Nightmare** » 19 Jan 2011, 17:43

Qmath a écrit:Moi j'aurais tendance a démontrer que f est infiniment dérivable en deux étapes:
(1) on montre qu'elle est infiniment dérivable la ou elle ne s'annule pas.
(2) elle est infiniment dérivable ou elle s'annule.

Pour (1) je montre que pour tout n dans N , si g est infiniment dérivable alors l'est aussi. Et comme g ne s'annule pas sur l'intervalle étudiée alors est infiniment dérivable. Par suite on a que si g est infiniment dérivable alors l'est aussi avec Z entier relatif.
Aussi je montre que si et sont infiniment dérivables alors est aussi infiniment dérivable.

Ceci étant fait j'attaque le problème:
p et q sont 1er entre eux donc il existe deux entier relatifs u et v tel que up+vq=1

Or daprès nos lemmes précédant est infiniment derivable la ou elle ne s'annule pas.

Reste plus qu'a montrer que f est infiniment dérivable la ou elle s'annule.

Qu'en pensez vous jusque la ?

C'est tout à fait correct, mais, vu le niveau de l'exercice, toute la partie en gras est clairement "inutile".

par **Nightmare** » 23 Jan 2011, 23:22

Je voudrais revenir sur cet exercice, quelqu'un a-t-il une preuve si toutes les dérivées de f^p ou f^q sont nulles?

par **Doraki** » 23 Jan 2011, 23:55

Pas moi. Rien que pour montrer que f' tend vers 0 au voisinage d'un tel point, ça m'a l'air coton.

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