[Défi T°S] Produit infini

[Zweig]

Salut,

Voici un des premiers produits infini (dit de Wallis) de l'histoire des mathématiques et l'une des premières relations où apparaît comme la limite d'une suite de rationnels :



On définit les intégrales de Wallis comme suit :



1) Calculer et

2) En déduire

[benekire2]

j'ai déjà eu ce genre de question dans un exo. Je pense pas me tromper si je dit que je risque ( modulo 1 ou 2 autres) être le seul intéressé. Je le ferais demain :zen:

[Dinozzo13]

Salut, je tente le coup :+++:
, mais là je peine à trouver une primitive de .

[ned aero]

salut,

j'ai fais ça mais il y a un bail...comme on disait

la question1 revient à chercher Ip pour p=2n (cas pair) et p=2n+1(cas impair)

en fait, il faut arriver à établir une relation de récurrence entre I(2n) et I(2n-2)

puis, à l'aide de cette relation, exprimer I(2n) en fonction de Io

pour I(2n+1), relation avec I(2n-1) puis exprimer en fonction de I1


si mes souvenirs sont exacts mais ça remonte à la préhistoire pour moi...

[Heure]

L'intégrale de Wallis c'est mignon lol toujours besoin d'aide ou tu t'en es sorti?

[benekire2]

je crois aussi qu'il y a une petite astuce du genre sin^n=sin*sin^(n-1) enfin je verrais après l'exo de nightmare :zen:

[benekire2]

alors c'est un peu de la triche parce uqe je l'ai déjà fais mais bon je met mon premier "bout" de soluce :




D'où

Maintenant va falloir calculer, je laisse un peu de temps ( pour moi surtout :zen: )

PS: C'est sadique comme exo je trouve ...

[Arnaud-29-31]

alors c'est un peu de la triche parce uqe je l'ai déjà fais mais bon je met mon premier "bout" de soluce :




D'où

Maintenant va falloir calculer, je laisse un peu de temps ( pour moi surtout :zen: )

PS: C'est sadique comme exo je trouve ...

Rhaaaa attentioooon ^^

[benekire2]

oui, y a pas les bornes et tout et tout .. mais ça me semble juste. En même temps vu la forme dans laquelle j'étais hier ça m'étonnerai pas que ce soit faux :hum:

[Arnaud-29-31]

Juste l'erreur de signe à la fin, tu trouvais au lieu de

[dudumath]

Juste l'erreur de signe à la fin, tu trouvais au lieu de

La relation de récurrence est bien nIn=(n-1)I(n-2)

Edit: Au temps pour moi, j'ai lu trop vite

[Zweig]

C'est sadique comme exo je trouve ...

J'ai voulu donner le plus de libertés possibles. Il est vrai que ce n'est pas un exercice facile (même pour un Sup).

L'idée est d'utiliser des intégrations par parties pour obtenir une relation de récurrence entre des . Celle que tu as trouvée permet, vie une disjonction de cas sur la parité de n, de trouver les relations demandées, via du télescopage.

[Arnaud-29-31]

J'adore cet exercice, et au contraire je ne le trouve pas sadique, une fois que l'on a vu l'IPP la suite vient assez bien.
Je le pose souvent de façon brute comme ça à des élève de sup, ou bien en exercice guidé (très guidé ...) à des élèves de term.
Il est aussi intéressant en spé car couplé au chapitre sur les séries il permet de retrouver la formule de Stirling.

[Zweig]

J'aime bien cet exercice aussi ! Pour les curieux, voici d'autres résultats découlant de ce produit :





(formule d'Euler, une généralisation du produit de Wallis)

(formule de Gauss)

[benekire2]

Juste l'erreur de signe à la fin, tu trouvais au lieu de

Tu chipote là ...

Le plus dur va être la question 2 je pense !! ( Je fini la première dans la soirée promis)

[Zweig]

C'est pas fini pour la 1°). Il faut exprimer et en fonction de

[ned aero]

Excellent cet exercice, perso je l'ai eu en term C en interro et pratiquement sans balises de guidage...

[benekire2]

Certes, mais la Term C c'est pas du tout pareil que la S. Je suis pas en Term, mais je sais qu'ils foutent pas grand chose sur l'intégration ( sauf dans certains lycées bien sûr) . Souvent même il est dit "intégrer par parties" sauf que là , pour un lycéen, je suis pas sur que trouver la relation de récurrence soit ci facile que ça .. après je peu me tromper !!

[benekire2]

C'est pas fini pour la 1°). Il faut exprimer et en fonction de

J'obtient immédiatement ;



et


Il doit y avoir mieux ... parce que dans d'autres exos j'ai vu des gens qui simplifient les (2n)!

[Zweig]

est correct, par contre pour je trouve