[PDF] Problèmes d'optimisation

[Zweig]

Bonjour,

Pour ceux que ça intéressent, je mets à disposition un PDF que j'ai écrit regroupant de jolis problèmes d'optimisation (n'hésitez pas à consulter le glossaire figurant à la fin du PDF pour connaître certains théorèmes qui pourront vous être utiles dans la résolution de certains problèmes).

Le PDF n'est pas encore finalisé et il se peut que certaines solutions comportent des erreurs, merci de me les signaler.

http://pruno.dagen.free.fr/problemes_extrema.pdf

[lapras]

Franchement : Bravo !
C'est excellent ton PDF, j'aime bien quand les problèmes sont soigneusement classés au propre, je vais essayer d'en faire quelques un ! (en plus ca m'entraînera pour les O.A)

[Zweig]

Merci :we: J'y ai passé beaucoup de temps, que ce soit dans la rédaction ou dans la tracé des figures. Content que ça plaise à quelqu'un !

[_-Gaara-_]

C'est stylé tout çà :D Merci pour partager ce magnifique PDF (même s'il me faudra un peu de temps pour le comprendre)

:++:

[Imod]

En voici deux autres que tu pourras ajouter à ta collection , le premier en tout cas ( je ne sais pas si le deuxième a une solution simple ) .
1°) M est un point donné d'un secteur angulaire xOy , une droite (D) passant par M coupe [Ox) et [Oy) en A et B . Comment choisir (D) pour que l'aire du triangle ABO soit minimale ?
2°) Extremum problem

Imod

[Zweig]

Salut Imod,

Je connaissais la variante suivante :

Soient xOy un angle donné et P un point donné à l'intérieur de cet angle. Trouver les points A € (Ox) et B € (Oy) de sorte que le périmètre du triangle PAB soit minimal.

Je chercherais ta variante demain si j'ai du temps :happy2:

[Zweig]

Bonjour Imod,

Je te propose ma solution pour le 1)



Puisque l'angle est donné, alors l'aire est minimale lorsque le produit est minimal.

Soient les points L et M appartenant respectivement à (OA) et (OB) de sorte que (PL) // (OB) et (PM) // (OA). Ainsi, les triangles LPA et OBA sont semblables, d'où . D'une manière analogue, nous obtenons . D'où



Puisque PM et PL sont indépendants du choix de la droite passant par P, alors est minimal lorsque est maximal.

On pose et . Clairement, , et l'inégalité arithmético-géométrique fournit :

, d'où , avec égalité lorsque , i.e, .

Ainsi, la droite doit être construite de sorte que AP : BP = 1. Il est clair qu'il n'existe qu'une unique droite vérifiant cette propriété.

[Imod]

Une "démonstration" sans calcul ( OAO'B est un parallélogramme ) .



Imod

[Zweig]

Pas mal :++:

[Zweig]

As-tu cherché ma variante ? :happy2:

Je planche sur le problème 2).

[Imod]

As-tu cherché ma variante ? :happy2:

Je jette un coup d'oeil mais j'ai a peine une demi-heure devant moi et je suis très lent :dodo:

Imod

[Zweig]

1°) M est un point donné d'un secteur angulaire xOy , une droite (D) passant par M coupe [Ox) et [Oy) en A et B . Comment choisir (D) pour que l'aire du triangle ABO soit minimale ?

Tiens, je viens d'inventer une petite variante :

P est un point donné d'un secteur angulaire xOy, une droite (D) passant par P coupe [Ox) et [Oy) en A et B respectivement. Déterminer la position de (D) de sorte que [ soit minimale, un entier naturel donné.

[Imod]

Je ne suis pas sûr de comprendre le nouveau problème , les aires étant positives : .

Imod

[Imod]

J'ai "enfin" trouvé ( je crois ) le problème du périmètre minimum dans l'angle : on donne un point P dans un angle xÂy et on cherche une droite passant par P coupant [Ax) et [Ay) en Q et R de façon à ce que le périmètre de AQR soit minimal .



On considère [QR] passant par P et (C) le cercle exinscrit relatif à A du triangle AQR . Ce cercle est tangent à [Ax) et [Ay) en Q' et R' et le périmètre de AQR est égal à AQ'+AR' = 2.AQ'= 2.AR' . est donc minimal quand le centre du cercle est le plus près possible de P c'est à dire quand le cercle passe par P . Pour contruire le triangle avec minimum il suffit de tracer le cercle (C) passant par P et tangent au côtés de l'angle ( celui dont le centre est "à droite" de P ) et de tracer la tangente à (C) en P .



Imod