Problème de volume

[francklaboule]

Bonjour à tous, j'ai 17 mètres carrée à remplir avec une hauteur de 1 mètres de boules en plastique de diamètre =5,5 cm. Sachant qu'il y a un espace entre chaque boule (que je n'arrive pas à déterminer ),combien de boule faut-il pour remplir cette pièce?

[aviateur]

Bonjour
Reposes ta question correctement, elle semble intéressante.

[chan79]

salut
Quelle est la forme du volume à remplir ?

[francklaboule]

C'est un pavé droit (de base rectangulaire) 6*3,5*1

[pascal16]

je pense qu'on néglige les effets de bords
c'est donc un problème de pavage 3d avec des sphères.

[francklaboule]

Vous avez une réponse ?

[pascal16]

je regarderais la distance entre les centres des sphères de deux couches superposées quand l'arrangement est optimum, càd quand les centres de 4 sphères forment un tétraèdre de coté 2r

6*3,5 ?? ça fait pas 17m²

[pascal16]

on peut commencer par regarde quel est le nombre de boules que l'on peut mettre s'il n'y a aucun vide.

vers 195000

avec deux méthodes différentes :
encadrement supérieur : 144502
au plus juste : 123618

[chan79]

C'est un problème difficile.
Avec les dimensions 6 m sur 3,5 m pour la base, pour mettre la première couche, on a déjà du mal à évaluer.
En disposant en réseau hexagonal, on voit qu'on peut en mettre 7875 mais il y a très certainement mieux avec des arrangements non réguliers. Si on commence par le coin droit, il reste de la place au coin gauche...

[pascal16]

Ton modèle marche pour la couche N°1
Mais en dessus, il y a la couche N°2, pour une bonne densité, il faut que la boule de dessus puisse s’insérer pile poil dans le creux formé par 3 boules de la couche d'en dessous. Donc le 'vide' près du bord permet de mieux arranger la couche du dessus.

Vu la place qu'il reste ensuite en haut, on va sous-estimer le nombre de boules

Méthode.
Avec la méthode de Chan, on regarde combien il y a de boules par couche.
En supposant que la couche en dessus soit bien compatible " boule de dessus puisse s’insérer pile poil dans le creux formé par 3 boules de la couche d'en dessous", on calcule le nombre de couches.
Avec les vides, c'est un minorant.

Un majorant, c'est la densité trouvée sur du wikipédia d'un tel arrangement, c'est à dire le taux de matière sur un pavage infini (pi/(3V2) si je me rappelle bien), c'est là qu'on arrive à 195147 boules pour 17 m cube.

pour se simplifier la vie : 17m cube, c'est 17 000 litres ou 17 000 dm cube
si on prend les dimensions en dm, on a un système cohérent.
d=0.55 dm et r=0.275 dm pour 17 000 dm cube

Par contre, je rappelle qu'il y a un bug dans les chiffres, la surface ne colle pas avec les dimensions annoncées.

[chan79]

Il faudrait pouvoir secouer gentiment le contenant jusqu'à ce que les boules se disposent de la meilleure façon possible ....

[pascal16]

source wikipedia :

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circles_packed_in_square_15.svg

on va pas en arriver jusque là dans les calculs

[pascal16]

PS, on aimerait bien avoir les bonnes données pour comparer nos résultats même si tu as trouvé une solution ailleurs.