Problème
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
-
ETINCELLE19
- Membre Naturel
- Messages: 22
- Enregistré le: 15 Déc 2018, 13:33
-
par ETINCELLE19 » 06 Jan 2019, 21:21
Bonjour tout le monde, je vous présente cet exercice de difficulté relative ;
1. Quel est le nombre maximal de régions du plan qui déterminées avec quatre cercles?
2.
Conjecturer la formule générale pour le cas
cercles
, puis
prouver cette formule.
-
FLBP
- Habitué(e)
- Messages: 289
- Enregistré le: 25 Aoû 2017, 02:07
-
par FLBP » 06 Jan 2019, 21:39
Salut,
1.
zones (en comptant la zone extérieur du coup)
2.
et
quand
Je suis parti du point qu'avec :
On pouvait couper à chaque fois chaque cercle en deux:
(
équivaut au nombre de cercles)
Ce qui donne
et on ajoute la zone extérieur
(Ce n'est pas sensé être une démonstration, que je ne saurai faire ...)
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21512
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53
-
par Ben314 » 06 Jan 2019, 23:00
Salut,
Concernant le fait de
démontrer ce résultat, il suffit de montrer que, pour tout
, il existe
cercles du plan tels que deux quelconques d'entre eux se coupent en deux points et que les points d'intersection soient tous distincts (i.e. que 3 cercles ne soient jamais concourant).
Et il y a des tas de dispositions possibles. Par exemple, on peut disposer n'importe comment les centres des
cercles sur un cercle donné de rayon
puis prendre le même rayon
pour les
cercles : on vérifie aisément que ça marche.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
-
chan79
- Membre Légendaire
- Messages: 10330
- Enregistré le: 04 Mar 2007, 20:39
-
par chan79 » 27 Jan 2019, 17:03
et avec 4 ellipses (superposables) ?
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21512
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53
-
par Ben314 » 27 Jan 2019, 17:32
Si tu prend une ellipse quasi dégénérée (i.e. avec un axe très grandet l'autre très petit), puis que tu en prend des copies en faisant des rotations autour du centre de l'ellipse alors tu as sous les yeux une famille d'ellipse superposables qui se coupent 4 fois deux à deux (ce qui est le max possible) et modulo de prendre les angles de rotations "plutôt quelconques" il n'y aura aucun point de concours triple.
Le nombre de zones avec
ellipse va alors être tel que
et
ce qui donne
c'est à dire
.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
-
chan79
- Membre Légendaire
- Messages: 10330
- Enregistré le: 04 Mar 2007, 20:39
-
par chan79 » 27 Jan 2019, 18:15
ok
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 6 invités