Problème

[ETINCELLE19]

Bonjour tout le monde, je vous présente cet exercice de difficulté relative ;
1. Quel est le nombre maximal de régions du plan qui déterminées avec quatre cercles?
2. Conjecturer la formule générale pour le cas cercles , puis prouver cette formule.

[FLBP]

Salut,
1. zones (en comptant la zone extérieur du coup)
2. et quand
Je suis parti du point qu'avec :

On pouvait couper à chaque fois chaque cercle en deux:

( équivaut au nombre de cercles)
Ce qui donne et on ajoute la zone extérieur
(Ce n'est pas sensé être une démonstration, que je ne saurai faire ...)

[Ben314]

Salut,
Concernant le fait de démontrer ce résultat, il suffit de montrer que, pour tout , il existe cercles du plan tels que deux quelconques d'entre eux se coupent en deux points et que les points d'intersection soient tous distincts (i.e. que 3 cercles ne soient jamais concourant).

Et il y a des tas de dispositions possibles. Par exemple, on peut disposer n'importe comment les centres des cercles sur un cercle donné de rayon puis prendre le même rayon pour les cercles : on vérifie aisément que ça marche.

[chan79]

et avec 4 ellipses (superposables) ?

[Ben314]

Si tu prend une ellipse quasi dégénérée (i.e. avec un axe très grandet l'autre très petit), puis que tu en prend des copies en faisant des rotations autour du centre de l'ellipse alors tu as sous les yeux une famille d'ellipse superposables qui se coupent 4 fois deux à deux (ce qui est le max possible) et modulo de prendre les angles de rotations "plutôt quelconques" il n'y aura aucun point de concours triple.
Le nombre de zones avec ellipse va alors être tel que et ce qui donne c'est à dire .

[chan79]

ok