Probleme de surface circulaire

[yannick.fr]

Bonjour à vous,

Voila un problème que me turlupine depuis longtemps (quelques années) et qui vient de ressurgir. C'est un peu le principe de l'eclipse que je n'arrive pas à resoudre, n'etant pas suffisement armé pour trouver la reponse.
Ai essayé via autocad au pif de m'approcher d'une reponse, mais rien de précis.

Un paysan à un terrain circulaire. Il possède une chêvre attachée à la péripherie de son terrain avec une corde. Quelle doit etre la longueur de la corde pour que la chevre broutte la moitiée de la surface du terrain?

Cette valeur est logiquement une constante.
Si D = diamètre et L la longueur de la corde, peut-on obtenir une reponse du type L=xD (j'ai trouvé 0.6 mais c'est une très très grosse approximation, mais L doit etre superieur au rayon)?

Si je pouvais pour finir de satisfaire ma curiosité quelques infos sur la demonstration (niveau Bac+2 alors allez-y doucement).

Merci d'avance.

[yannick.fr]

Ai trouvé la solution ici :
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/355008-un-terrain-une-chevre-lart-detre-equitable.html

Mais cela ne repond à ma question : La corde est-elle d'une longueur proportionnelle à la taille du terrain? qu'elle est le facteur? Je ne sais pas simplifier des sin, cos etc....

Merci à vous pour la traduction.

[Ben314]

Ici, la surface à calculer est celle délimitée par deux cercles (le rayon de l'un est connu, celu de l'autre est à determiner...) pour calculer l'aire on coupe en deux (par le segment reliant les deux points d'intersection des deux cercles) et chaque morceau est délimité par un arc de cercle et une "corde" (c'est le segment ci dessus).
Or on sait determiner la surface d'une "portion" de cercle (une part de camembert) : c'est alpha.R où R est le rayon du cercle et alpha l'angle qu'il y a au centre du cercle.
On sait aussi déterminer la surface d'un triangle (ici isocèle) : c'est base*hauteur/2.
En retranchant l'un de l'autre (portion de cercle - triangle) on peut trouver la formule donnant la surface des deux morceaux du début (ceux délimités par la "corde"). Aprés effectivement, il fut de bonnes notions de trigo. pour voir le lien entre les différent angles sur un dessin et les différentes longueurs.
Tout doit être dans wikipédia "trigonométrie"...

Pour répondre a ta question, la longueur de la corde est évidement proportionelle au rayon du terrain (mais le rayon de terrain et sa surface ne sont pas proportionels à cause du carré dans la formulr pi.R^2)