Probleme de probas difficile : urnes

[Mario2015]

Salut a toutes et a tous,

On a 2n (n>1) urnes. Dans chacune de ces urnes, il y a (n+1) boules numerotees de 1 a n+1.
On effectue un tirage aleatoire par urne (l`ordre importe peu), soit 2n tirages en tout.
On note les nombres tires et on remet les boules chacune dans son urne respective.
Hypothese : equiprobabilite des boules.
On refait le processus indefiniment.
Quelle est la probabilite qu`il y ait au moins une boule n`ayant pas ete tiree 2 fois ou plus?

Exemple
n=2
tirage 1 : 1-1-2-3 (le 2 et le 3 ont ete tires 1 seule fois)
tirage 2 : 2-2-2-3 (le 3 a ete tire une seule fois)
tirage 3 : 1-1-3-3 (aucun numero n`a ete tire qu`une seule fois)

[Waax22951]

Bonjour,
Je pense qu'il y a une erreur dans ton énoncé: si on considère la probabilité qu'il y ait au moins une boule n'ayant pas été tirée 2 fois ou plus, elle est toujours égale à 1. En effet, on ne peut pas faire que des paires avec n+1 éléments lorsqu'on ne dispose que de 2n emplacements: il faut au moins 2(n+1) emplacements.

Du coup je suppose que le problème est de calculer la probabilité qu'il y ait au moins un boule qui ne soit tirée qu'une seule fois.

Je propose ma réponse:
On note, pour tout entier , la variable aléatoire qui compte le nombre de fois qu'apparaît la boule "m", on peut affirmer qu'elle suit une loi binomiale: en effet, toutes les épreuves sont identiques et indépendantes les unes des autres, et chacune n'admet que deux issues: soit on tire la bonne boule, à une probabilité de p (que l'on déterminera), et c'est un succès; soit on tire une boule possédant un numéro différent et c'est un échec, à une probabilité de (1-p).
Donc suit .

À chaque tirage, la probabilité d'obtenir la bonne boule est égale, par équiprobabilité, à .

Ainsi on a . D'où, pour tout entier :


Ainsi, à chaque processus, la probabilité que la boule m soit tirée exactement 1 fois est égale à:


Ainsi, à chaque processus, la probabilité qu'il y ait au moins une boule n'ayant qu'une seule fois est égale à:


Cette probabilité dépend uniquement du nombre d'urne et reste donc constante au cours du temps. Cette probabilité est évidemment non nulle (puisqu'on peut réaliser le tirage suivant: 1-2-3...-(n+1)-1-1-1..) et différente de 1 (puisqu'on peut réaliser le tirage suivant: 1-1-1-1-1-1..). Nous noterons p' cette probabilité.

Notons maintenant pour tout , la variable aléatoire , qui compte le nombre de processus (parmi les q premiers processus) dont au moins l'une des boules a été tirée une seule fois. Cette variable aléatoire suit donc la loi (la flemme de réécrire l'explication, c'est suffisamment simple à comprendre.. ^^').
Ainsi, pour tout , on a:


La probabilité à déterminer est donc:
[CENTER][/CENTER]

Or on a:


Or on a d'où .
Donc on a finalement:

[CENTER][/CENTER]

Il est donc certain, si on répète indéfiniment le processus, d'obtenir un tirage dont au moins l'une des boules n'est tirée qu'une seule fois.


J'avoue que j'aimerais que quelqu'un me dise si c'est juste ou non, car j'ai de sérieux doutes sur ma preuve: je remarque par exemple que la probabilité tend vers 2 lorsque n tend vers ..



Soit dit en passant, la fonction est extrêmement étrange: elle stagne autour d'une valeur puis devient de plus en plus grande jusqu'à rester constante autour de 1.. Je ne suis même pas sûr qu'elle ne change pas de nouveau de valeur lorsque x devient plus grand..!

Bonne soirée..! :lol3:

EDIT: en réalité, il semblerait que sa limite soit :
On rappelle qu'on a:


D'où, en posant , on a:


Donc on a:


Donc on aurait alors:

[nodjim]

Waax, c'est très courageux de ta part de faire un calcul sur un énoncé faux.
Attendons la correction.

[Mario2015]

Waax, c'est très courageux de ta part de faire un calcul sur un énoncé faux.
Attendons la correction.

L`enonce est juste.
Je donne un exemple :
n=2
Donc 4 urnes et 3 numeros (1,2,3). Il y a 3^4 possibles
La probabilite qu`il y ait AU MOINS un nombre n`ayant pas ete tiree 2 fois et plus est = 74,1%
(60 cas sur 81)

Au fur et a mesure que n croit cette probabilite change.
Dans quel sens?

[Mario2015]

La difficulte reside dans le denombrement.
Seuls les cas ou il existe au moins une valeur non repetee (valeur unique) sont un succes.

Par exemple la suite des tirages par urne (n=5) : 1-1-2-3-3-3-4-4-6-6 est un succes (le 2 n`est sorti qu`une fois).

[nodjim]

Donne moi une config où tous les nombres sont sortis 2 fois ou plus, STP, je ne suis pas sûr qu'on se comprenne bien.

[Mario2015]

Par exemple la suite des tirages par urne (n=5) : 1-1-1-3-3-3-4-4-6-6 est un echec (aucun numero n`est sorti une fois et une seule)

[Mario2015]

Donne moi une config où tous les nombres sont sortis 2 fois ou plus, STP, je ne suis pas sûr qu'on se comprenne bien.

Pas necessairement tous les nombres.
On peut avoir le 1 sorti 10 fois pour les 10 urnes.
Ou le 1 cinq fois et le 2 cinq fois par exemple.
etc...

[nodjim]

Il faudrait que tu me donnes un exemple cas favorable STP.

[Mario2015]

Il faudrait que tu me donnes un exemple cas favorable STP.

Il suffit de me relire, je l`ai deja donne.
Il faut qu`il y ait dans la suite des numeros au moins un numero cite une fois et UNE SEULE FOIS pour que ce soit un cas favorable.
Si tous les numeros tires des 2n urnes sont cites 2 fois et plus, c`est un cas non favorable (=echec)

[Waax22951]

Waax, c'est très courageux de ta part de faire un calcul sur un énoncé faux.
Attendons la correction.

Dans un sens, vu comment Mario2015 présente les exemples, je pense très sérieusement que l'énoncé que j'ai supposé vrai est le bon..

Il suffit de me relire, je l`ai deja donne.
Il faut qu`il y ait dans la suite des numeros au moins un numero cite une fois et UNE SEULE FOIS pour que ce soit un cas favorable.
Si tous les numeros tires des 2n urnes sont cites 2 fois et plus, c`est un cas non favorable (=echec)

Ce n'est pas ce que tu as dit précédemment: il y a une différence entre l'évènement "au moins un numéro est tiré une seule fois" et l'évènement "au moins un numéro n'a pas été tiré deux fois ou plus".
Car dans l'exemple suivant: (n=5) 1-1-2-2-3-3-4-4-5-5, le 6 n'apparaît pas, donc il n'apparaît pas deux fois ou plus, cependant il n'est pas tiré du tout, donc le premier évènement n'est pas réalisé mais le second si..!

Si mes calculs sont bons (dans mon EDIT), ce dont je doute cependant, la probabilité du premier évènement, lorsque le nombre d'urnes tend vers l'infini, est de .

[Mario2015]

Waax tu as raison mon equivalence est fausse.
Desole pour tout cela.
Maintenant, je ne sais pas si c`est assez clair.
Le denombrement voila le fond du probleme.
Un tirage ou il y a au moins 1 numero unique (non repete) est un succes autrement c`est un echec.
J`ai du fumer un peu trop hier :) (de la moquette ptet)

[Waax22951]

Du coup ma réponse est celle que j'ai posté en commentaire au tout départ, si quelqu'un pouvait me dire si elle est vrai ou non, ce serait gentil..! :lol3:
En réalité je me pose une question: lorsque tu écris "on refait le processus indéfiniment", est-ce que tu veux dire que le nombre de tirage est supposé infini ?

[Mario2015]

Du coup ma réponse est celle que j'ai posté en commentaire au tout départ, si quelqu'un pouvait me dire si elle est vrai ou non, ce serait gentil..! :lol3:
En réalité je me pose une question: lorsque tu écris "on refait le processus indéfiniment", est-ce que tu veux dire que le nombre de tirage est supposé infini ?

C`est de la que vient la confusion (ma confusion je le reconnais). J`avais une autre preoccupation en tete (la seconde partie du probleme).
Mea culpa pour ce gros cafouillis.
Du coup, j`entrevois comment denombrer. J`y retourne.
Si le taux de succes augmente avec n croissant c`est bon!
Sinon, je me dois de repenser totalement le probleme.

Merci pour tout.

[Mario2015]

Du coup ma réponse est celle que j'ai posté en commentaire au tout départ, si quelqu'un pouvait me dire si elle est vrai ou non, ce serait gentil..! :lol3:
En réalité je me pose une question: lorsque tu écris "on refait le processus indéfiniment", est-ce que tu veux dire que le nombre de tirage est supposé infini ?

C`est n qui est infini. On augmente n a chaque fois et on calcule le taux de succes.

[Mario2015]

Bref, il me sera difficile de trouver une formule generale en fonction de n.
Pas sur a 100% cependant.

[Mario2015]

Trouver une formule combinatoriale generale pour calculer la probabilite de l`existence d`au moins une valeur unique (non repetee), volia le fond du probleme.

[nodjim]

ça me semble compliqué. Toutefois, j'aurais tendance à dire que cette proba tend vers 1 avec n qui tend vers l'infini.

[Waax22951]

J'ai commencé à essayer de déterminer la probabilité sans passer par le dénombrement (de façon brute), et ça devient quasiment impossible (du moins à mon niveau, mais ça reste tout de même très long et très chiant..).

ça me semble compliqué. Toutefois, j'aurais tendance à dire que cette proba tend vers 1 avec n qui tend vers l'infini.

Je n'en suis pas si sûr: le nombre de boule dépend aussi de n, et donc la probabilité d'obtenir la même boule deux fois diminue lorsque n augmente, donc j'avoue que je n'en ai vraiment aucune idée..!

[nodjim]

Pour 6 urnes 4 boules, je dénombre 3408 nombres favorables sur 4096 cas, soit plus de 83%. Je peux m'être trompé dans le nombre exact de cas, mais la tendance est bien à la hausse, et ça va plutôt vite.

Le nombre de configurations où on n'aurait que des doubles (moins une boule) est assez restreint. La plupart des autres cas sera majoritaire, avec ensemble des triples ou plus, des absences et des unitaires.