Probleme de probas difficile : urnes

[Waax22951]

Pour 6 urnes 4 boules, je dénombre 3408 nombres favorables sur 4096 cas, soit plus de 83%. Je peux m'être trompé dans le nombre exact de cas, mais la tendance est bien à la hausse, et ça va plutôt vite.

Le nombre de configurations où on n'aurait que des doubles (moins une boule) est assez restreint. La plupart des autres cas sera majoritaire, avec ensemble des triples ou plus, des absences et des unitaires.

Je n'ai pas cherché à déterminer la probabilité pour de petites valeurs de n, mais si tu dis que la tendance est à la hausse, alors c'est vrai que la probabilité semble tendre vers 1..!

[Mario2015]

Pour denombrer exactement le nombre de cas favorables, il faut partitionner 2n. Ensuite, on ne prend que les cas ou figure le 1. On les somme et on les rapporte a (n+1)^(2n).
Je donne l`exemple de n=2
Donc 2n=4

Partitions possibles de 4 :

(4,0,0)
(3,1,0)
(2,2,0)
(2,1,1)


Chacun de ces cas a plusieurs formes qui lui correspondent.

(4,0,0) 3 cas
(3,1,0) 24 cas
(2,2,0) 18 cas
(2,1,1) 36 cas

Le tout egal a 3^4=81

On ne choisit que les cas correspondant a la presence du 1.

(3,1,0) 24 cas
(2,1,1) 36 cas

Pour n=2 il y en a 60.

On peut le faire pour des n plus grands mais l`interet reside dans une formule plus compacte

[Mario2015]

Pour 6 urnes 4 boules, je dénombre 3408 nombres favorables sur 4096 cas, soit plus de 83%. Je peux m'être trompé dans le nombre exact de cas, mais la tendance est bien à la hausse, et ça va plutôt vite.

Le nombre de configurations où on n'aurait que des doubles (moins une boule) est assez restreint. La plupart des autres cas sera majoritaire, avec ensemble des triples ou plus, des absences et des unitaires.

Si c`est le cas c`est SUPERBE!!! Le jackpot
Merci

[Mario2015]

Je pense qu`en fin de compte une formule generale est envisageable.
Faudrait que je revisite le probleme des partitions.
Merci beaucoup

[t.itou29]

Pour 6 urnes 4 boules, je dénombre 3408 nombres favorables sur 4096 cas, soit plus de 83%. Je peux m'être trompé dans le nombre exact de cas, mais la tendance est bien à la hausse, et ça va plutôt vite.

Le nombre de configurations où on n'aurait que des doubles (moins une boule) est assez restreint. La plupart des autres cas sera majoritaire, avec ensemble des triples ou plus, des absences et des unitaires.

Salut,
Avec le principe d'inclusion/exclusion je trouve 3432. Dans le cas général, sauf erreur, la formule serait :
où et C nombre de cas favorables.
Ça donne bien 60 pour n=2 mais je sais pas s'il y a moyen de trouver une expression en forme fermée...

EDIT: Pour n=15 ça donne 99,7% de cas favorables, ça semble bien tendre vers 1
Je détaille le raisonnement demain pour savoir si c'est bon, je n'ai pas le temps ce soir.

[Waax22951]

Salut,
Avec le principe d'inclusion/exclusion je trouve 3432. Dans le cas général, sauf erreur, la formule serait :
où et C nombre de cas favorables.
Ça donne bien 60 pour n=2 mais je sais pas s'il y a moyen de trouver une expression en forme fermée...

EDIT: Pour n=15 ça donne 99,7% de cas favorables, ça semble bien tendre vers 1
Je détaille le raisonnement demain pour savoir si c'est bon, je n'ai pas le temps ce soir.

Bien !
J'ai pensé aussi à utiliser la formule de Poincaré mais ça faisait des calculs si longs que je n'ai pas eu l'envie de les terminer..! :lol3:

Du coup je vais voir ce que donne mes calculs demain, et si je tombe sur la même chose que toi, c'est que c'est bon ! :lol3:

[nodjim]

Je confirme le 3432 de t.itou, en dénombrant 664 cas défavorables (4096-664=3432).

[Mario2015]

Merci pour cette belle formule.
Il y a moyen de faire plus simple en calculant par recurrence le nombre de cas favorables pour 2(n+1) connaissant celui de 2n.
Juste une idee pour l`instant.
Cela devrait surement etre un casse-tete.

[t.itou29]

Pour les détails:
Soit l'ensemble des tirages tels que la boule n°i soit tirée une fois et une seule. Le nombre de cas favorable, , est donc donné par: .
Or d'après PIE: avec

Il faut calculer chaque intersection :
- choix de k places pour les boules tirées une fois et une seule dans le tirage :
- placement des k boules dans les places sélectionnées:
- choix des parmi les n+1-k autres boules pour chacune des 2n-k places restantes:
D'où:
Or il y a intersections de k ensembles, d'où finalement:


Pour prouver que ça converge bien vers 1, ce ne doit pas être simple: trouver une expression fermée semble impossible et minorer assez délicat

[Waax22951]

Un peu hors-sujet mais pas totalement: comment vous y prendriez vous pour déterminer le nombre de suites strictement croissantes de longueurs p comprises entre 1 et n ?

Merci d'avance ! :lol3:

[nodjim]

Pour la preuve que la proba tend vers 1:
on fait une répartition des cas défavorables en listant le nombre d'apparitions de chaque boule (chiffre) sortie, par exemple 2222....222. On peut faire une bijection entre cette config et une config contenant au moins un 1: Dans le cas de l'exemple:
222...2211. On montre alors que la nouvelle config a un plus fort cardinal, et que la différence est proportionnelle à n.