Problème pour jeune

[FLBP]

Hello,
(les grands s'abstenir)
Est-il possible de construire un nombre premier avec l'ensemble E = {1,2,3,5,7} en les concaténant et en utilisant chaque élément le même nombre de fois ?

Exemple :
1123235757 qui n'est pas premier ...

Bonne chance

[Elias]

Salut,

Je sais pas si j'ai le droit de répondre, je suis pas si grand que ça. ^^

La somme des chiffres d'un tel nombre est toujours un multiple de 18, soit un multiple de 3 donc divisible par 3...

[lynux]

La réponse est non.
La somme des éléments de l'ensemble est divisible par 9 par suite, quelque soit la manière de les concaténer, le nombre sera divisible par9 et donc composé.

Qu'est-ce que tu appelles jeune ?

[FLBP]

Oui, toutes les combinaisons pouvant être formées seront des multiples de 3.
Jeune, pour dire écolier ou peu importe, car le problème était très facile

Edit :

Ce petit problème m'est apparu, en me demandant s'il était possible de formé une suite de nombres premiers strictement croissante où :

est premier (évidemment)
est premier (ici: + représente la concaténation)
est aussi premier. etc ...

Une idée, si ce n'est pas possible, une démonstration ?

[Elias]

Salut,

Si on concatène comme ceci :



Alors oui il me semble possible de trouver une suite strictement croissante pour laquelle la suite ci-dessus de concatanétation soit une suite de nombres premiers.

Pour cela, je me baserais sur le théorème de progression arithmétique :

si et sont deux entiers naturels premiers entre eux, alors pour tout entier, il existe une infinité de nombres premiers de la forme


Pour construire une telle suite, on peut partir de par exemple.

Ensuite, on va chercher un nombre de la forme M7 (où M est un entier strictement plus grand que 7 et M7 désigne la concaténation des deux) tel que M7 soit premier.

Facile, il suffit de regarder la suite de terme général
Comme 10 et 7 sont premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers de cette forme.
Ces nombres se terminent tous par 7 et pour n assez grand, on peut les écrire M7 avec M plus grand que 7.

En particulier, on peut trouver un nombre premier de la forme M7 avec M > 7.

On pose alors

La concaténation donne bien un nombre premier (M7).

Par exemple, ici M= 9 convient (97 est premier) mais il y a aussi M = 12 qui convient (127 est aussi premier).


Ensuite, pour construire :

On regarde la suite de terme général où est le nombre de chiffres dans l'écriture en base 10 de M7.

(donc si on travaille avec 97, on regarde la suite 97+100n et si on travaille avec 127 on regarde la suite 127+1000n)

Pourquoi ? Tout simplement pour faire en sorte que tous les termes de suite se terminent par M7 dans leur écriture en base 10.

Une nouvelle fois, et sont premiers entre eux (car les diviseurs premiers de 10^l sont 5 et 2 et M7 est un nombre premier distinct de ces 2) donc pour n assez grand, on trouvera un nombre premier de cette forme et on se payera même le luxe de l'écrire sous la forme KM7 avec K plus grand que M7.

Il suffit alors de poser
Et on continue ainsi...


Il faudrait rédiger tout ça de façon bien carrée mais l'idée est là...

[FLBP]

Hello,

Merci pour ta réponse par contre tes M = {9,12} ne sont pas premiers.

Je cherche une suite comme : 2 3 11 31 ...
Tous premiers et 2 23 2311 231131 aussi !

[Elias]

Ah j'avais pas fait attention au fait que tu voulais que les termes u_n soient tous premiers.

Du coup, tu peux peut être regarder cette page https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de ... che-Wellin si tu ne connais pas encore.

[FLBP]

Merci pour le lien, c'est exactement ça !