Problème mêlant (a priori) les probas et les pourcentages

[didice]

Bonjour,

Voici le contexte : je suis professeure des écoles en maternelle et je cherche à créer un jeu coopératif avec quatre niveaux de difficulté pour mes élèves. Il s'agit d'un jeu de coopération où les joueurs doivent construire une maison (en disposant des cubes sur un quadrillage de 100 cases). Ils jouent contre le "bulldozer" qui donne des coups à la maison, maison qui s'écroule au bout de x coups. Je cherche à déterminer la valeur de x en fonction des quatre règles du jeu et de façon à ce que les joueurs aient 50 à 60% de chances de gagner (on peut être un peu au dessus de 60, mais pas en dessous de 50). (l'ordre de difficulté est décroissant car c'est un jeu que je souhaite aborder en priorité avec mes grandes sections)

Règle n°1 :
Les joueurs jouent avec deux dés de 6 faces. Ils ajoutent le nombre de cubes obtenu à chaque tirage, sauf s'ils font un double. Dans ce cas, c'est le bulldozer qui donne un coup.

Ce que j'ai réussi à déterminer pour cette règle :

Il y a 6/36 chances que le bulldozer donne un coup, et 30/36 chances que les joueurs posent des briques.
2/36 d'obtenir un 3 (coup minimum pour les joueurs)
2/36 d'obtenir un 4
4/36 d'obtenir un 5
4/36 d'obtenir un 6
6/36 d'obtenir un 7 (coup moyen pour les joueurs mais aussi le plus fréquent avec les doubles)
4/36 d'obtenir un 8
4/36 d'obtenir un 9
2/36 d'obtenir un 10
2/36 d'obtenir un 11 (coup maximum pour les joueurs)

En ne comptant que les coups où ce sont les joueurs qui avancent, il faut entre 10 et 34 coups pour l'emporter.

Et après ça, je coince. Comment déterminer le nombre de coups à donner au bulldozer ?

Règle n°2 :
Les joueurs jouent avec un dé de 10 faces, numérotées de 0 à 9. Le nombre de briques ajoutées est déterminé par le lancer du dé. S'ils tombent sur 0, c'est le bulldozer qui donne un coup.

Ce que j'ai réussi à déterminer pour cette règle :

Il y a une chance sur 10 pour que ce soit le bulldozer qui donne un coup, 9 chances sur 10 pour que le joueur pose des briques.

Le nombre de chances de faire 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 est égal, soit 1/10 à chaque fois.

Il faut entre 12 et 100 coups pour l'emporter.

Et après ça, je coince. Comment déterminer le nombre de coups à donner au bulldozer ?

Règle n°3 :
Les joueurs jouent avec un dé de 6 faces. Le nombre de briques ajoutées est déterminé par le lancer du dé. S'ils tombent sur 6, c'est le bulldozer qui donne un coup.

Ce que j'ai réussi à déterminer pour cette règle :

Il y a une chance sur 6 pour que ce soit le bulldozer qui donne un coup, 5 chances sur 6 pour que le joueur pose des briques.

Le nombre de chances de faire 1, 2, 3, 4 et 5 est égal, soit 1/6 à chaque fois.

Il faut entre 20 et 100 coups pour l'emporter.

Et après ça, je coince. Comment déterminer le nombre de coups à donner au bulldozer ?

Règle n°4 :
Les joueurs jouent avec un dé de 4 faces. Le nombre de briques ajoutées est déterminé par le lancer du dé. S'ils tombent sur 4, c'est le bulldozer qui donne un coup.

Ce que j'ai réussi à déterminer pour cette règle :

Il y a une chance sur 4 pour que ce soit le bulldozer qui donne un coup, 3 chances sur 4 pour que le joueur pose des briques.

Le nombre de chances de faire 1, 2 et 3 est égal, soit 1/4 à chaque fois.

Il faut entre 12 et 100 coups pour l'emporter.

Et après ça, je coince. Comment déterminer le nombre de coups à donner au bulldozer ?

Je vous avoue que, comme j'étais en L au lycée, puis en lettres modernes à la fac, je ne sais pas si c'est un problème de niveau lycée ou au-delà (pitié, ne me dites pas que c'est niveau collège, sinon mon égo va en prendre un sacré coup ), d'où la section choisie pour poster. Je n'étais pas nulle en maths, j'ai un esprit logique pas si mauvais, mais je ne sais pas par quel bout prendre le problème, une fois que j'ai fait les probas.

Merci aux personnes qui se sentiront l'âme assez charitable pour m'aider

[lyceen95]

C'est un exercice trop difficile pour un lycéen.

Ce n'est pas un problème mêlat probas et pourcentages, mais simplement un problème compliqué de probas.

Il y a une étourderie dans le cas n°4, avec le dé à 4 faces. Il faut entre 34 (pas 12) et 100 lancers pour terminer.

Prenons le cas du dé à 10 faces. C'est un cas intermédiaire.
Il faut entre 12 et 100 lancers pour construire les 100 briques. (en ne regardant que les lancers qui donnent un nombre de 1 à 9)
Cherchons approximativement les probabilités d'arriver en 12 lancers, en 13 lancers ... (la loi de distribution)
Déjà, ça, c'est difficile.
On arrive en 100 lancers si on est très malheureux, si on tire 99 fois de suite un 1 et au 100ème lancer, on peut avoir un résultat quelconque.
A l'autre extrémité, on arrive en 12 lancers si on a 11 fois 9 puis un nombre quelconque, ou plein d'autres configurations.
On a besoin entre 12 et 100 lancers, mais ce n'est pas équilibré entre ces 2 extrèmes. 12 lancers, c'est rare, certes, mais 100 lancers, c'est une proba quasi nulle.
Les 2 valeurs extrèmes 12 et 100 ne sont pas d'une grande utilité dans le calcul.

En moyenne, on avance de 5 briques.
En moyenne, il faut environ 100/5= 20 lancers pour arriver aux 100 briques.
On aimerait avoir des notions d'intervalles autour de ce nombre de 20 lancers. Trouver un résultat du genre : dans 80% des cas, on aboutit à 100 briques au bout de 16 à 30 lancers, un résultat de ce genre. Mais c'est compliqué.

Correction , en prenant maintenant en compte le fait que le dé a une face 0, qui ne fait pas avancer les travaux :
En moyenne, il faut 20 lancers 'positifs' pour arriver aux 100 briques.
Si on a 20 lancers positifs, on a raisonnablement 20/9 =2.22 coups de bulldozer.
Il faut donc considérer que tant qu'on a 0,1 ou 2 coups de bulldozer, la maison tient, mais au delà de 2 coups de bulldozer, c'est perdu.

Quelle est la probabilité de gagner avec cette règle ? Trop compliqué pour moi. Si je devais répondre à cette question, je programmerais ce jeu, avec ces règles, et je ferais une simulation sur quelques milliers de parties.

[didice]

Merci pour la réponse. Ça colle avec les simulations que j'ai faites avec Excel (c'est looooooong)

Quel(s) sites / logiciels utiliser pour programmer et lancer la simulation ? Ça m'intéresse dans le sens où ça ne sera sans doute pas ma dernière création de jeux, et je préfère apprendre à me débrouiller plutôt que de demander, mais là je n'y connais pas grand chose. J'ai quelques bases de chez bases en codage, mais j'aime beaucoup tout ce qui est logique, donc je devrais y prendre plaisir

[lyceen95]

J'ai fait une simulation aussi.
Pour le dé à 10 faces, si on considère qu'on gagne tant qu'on a 0 , 1 ou 2 coups de bulldozer maximum, on gagne dans environ 60% des cas.
Pour les 2 dés à 6 faces, sin on met la même limite : maximum 2 coups de bulldozer, alors on gagne dans seulement 45% des cas.
Et si on met la limite à maximum 3 coups de bulldozer, alors on gagne dans 66% des cas environ.

J'ai programmé ça avec un outil ... que je ne recommanderais pas.
Mais Python est un très bon outil pour tout ça.

Voici un code Python qui marche :

Code: Tout sélectionner

import random

def jouer_une_partie() :
    nbuldo=0
    nbriques = 0
    while (1 >0) :
       de1 = random.randint(1,6)
       de2 = random.randint(1,6)
       if de1 == de2 :
          nbuldo =nbuldo+1
          if nbuldo == 3 :
              return "PERDU"
       else :
          nbriques += de1 + de2
          if nbriques >= 100 :
              return "GAGNE"


for ii in range(5)
  nvictoires = 0
 
  for i in range(10000):
    resu = jouer_une_partie()
    if resu == "GAGNE" :
       nvictoires = nvictoires +1
       
  print( " nvictoires=" + str(nvictoires) )

Pour le tester, sans avoir à installer Python, tu peux aller sur ce lien : https://www.onlinegdb.com/online_python_interpreter
Tu copies ce code.
Et tu cliques sur le bouton vert 'Run'. On constate que sur 10000 parties, on a environ 4530 victoires avec les règles définies.

Pour faire du Python 'gentillet', ce site est suffisant. Pour en faire plus sérieusement, il faut installer Python sur ta machine.

[didice]

Merci beaucoup !!!

Je garde précieusement ce code pour pouvoir faire d'autres jeux

[didice]

Désolée de déranger encore , mais j'ai voulu essayer pour m'approprier le code et il y a un petit souci :

File "main.py", line 19
for ii in range(5)
^
SyntaxError: invalid syntax

Je ne sais pas à quoi ça correspond (autant le reste est à peu près compréhensible, autant la fin du code ne veut rien dire pour moi ), j'ai essayé de googler cette partie du code, mais je ne suis vraiment pas sûre de ce que je comprends

Si j'ai bien compris, ça demande de jouer 5 fois avant de jouer les 10 000 ?

[lyceen95]

Désolé, j'avais posté une première version, testée. Puis j'ai changé un peu, et erreur dans le copier/coller.

Il manque le caractère : à la fin de la ligne : for ii in range(5):

On répète 5 fois l'expérience : faire 10000 parties, en affichant à chaque fois le résultat au bout de 10000 parties. Ca permet de voir si les variations sont très faibles, ou pas. Et en l'occurrence, les variations sont très faibles.

En Pyhon, les 2 choses à retenir : les symboles : qui marquent le début d'un bloc logique, et l'indentation (les espaces en début de ligne) qui marquent toutes les lignes d'un même bloc.

[lyceen95]

Lecture commentée du code :
def jouer_une_partie :
On définit un outil, une fonction, qui s'appelle jouer_une_partie
La définition de cette fonction, elle contient toutes les lignes qui sont 'décalées' par rapport à la ligne d'entête.
On peut définir ainsi successivement plusieurs fonctions. Et chaque fonction pourra être utilisée après avoir été définie.

On arrive ensuite à la ligne for ii in range(5):
Cette ligne est cadrée à gauche, comme la ligne def jouer_une_partie():
Elle marque donc le début d'un nouveau paragraphe.
Et comme elle ne commence pas par def , on n'est plus en train de définir une nouvelle fonction. On est donc sur la première ligne du programme principal. Ce sera la première ligne réellement exécutée par le programme.
Le programme exécute cette ligne, et les lignes suivantes. Et quand il en a besoin, il se sert des fonctions définies au-dessus.

[didice]

Super, merci pour la clarification !

Je me suis amusée à bidouiller les données chiffrées pour faire un niveau qui sera moins long pour les règles 3 et 4, mais je n'avais pas saisi la nuance entre la définition et le programme principal =)