Problème de marche

[Claire91]

Un marcheur parcourt 12 km en une heure. Justifier qu'il existe forcément un intervalle d'1/2 heure pendant lequel il parcourt 6 km.

Il parait que c'est facile... Je cherche encore

[Monsieur23]

Bonjour.

Essaye par l'absurde !

Edit : Désolé Leon :ptdr:

[switch_df]

c est facile ca veut dire quoi?

Il faut faire un devellop. mathématique ou il faut justifier comme ca vite fait?

[Patastronch]

C'est facile ca veut dire que ca a à sa place dans lycée tout au plus.
Suit le conseil de monsieur23 ca devrait aller tout seul.

[Hippocampe]

Salut,

Je n'ai pas fait de maths depuis plus de vingt ans mais je me lance...

Supposons que l'homme marche de t=0 à t=1.
La vitesse de cette homme avant 0 n'a pas d'importance, supposons cette vitesse constante et nulle (l'homme ne marche qu'à partir de 0).
La vitesse est v(t).
Considérons vm(t) la vitesse moyenne sur la demi-heure précédant t.

On veut montrer qu'il existe T / vm(T)=12. (avec 0<=T<=1)
vm(0)=0
v est continue
vm est continue
Par l'absurde:
Supposons que T n'existe pas dans [0,1],
donc, pour tout t, vm(t)<12,
donc la distance parcourue à t=1 est inférieure à 12,
impossible.

Donc T existe.

Hippocampe

[Hippocampe]

J'ajoute ce message bidon pour pouvoir demander le suivi de ce fil...

[perplexe]

J'ai un début de résolution mais je ne sais pas si ça peut aboutir.
On divise le parcours en un aller du point A au point B de 6 km et un retour de 6 km (de B à A). Le personnage fait son aller avec une vitesse variable le long du chemin. On suppose que son double est parti de B (pour ce qui "sera" le retour) au même moment où le premier personnage est parti de A . Lui et son double se croisent nécessairement en un point M. En ce point on sait que tA = tB (mais les 2 ont parcouru des distances différentes). On sait aussi que Xa + Xb = 6 ce qui peut s'écrire : Va Ta + Vb Tb = 6 (avec Ta = Tb = T )
soit : [ Va + Vb ] T = 6
Avec Va et Vb vitesses moyennes jusqu'au point de rencontre.

... et je vous demande de m'aider à conclure !

[scelerat]

... et je vous demande de m'aider à conclure !

C'est bien complique. Supposons que quel que soit l'instant, la distance parcourue dans la derniere demi-heure soit inferieure a 6 km, le marcheur athletique peut-il arriver au bout ? Cette "distance parcourue au cours de la derniere demi-heure" peut-elle sauter soudainement de moins de 6 km a plus de 6km ?

[Claire91]

Salut,


On veut montrer qu'il existe T / vm(T)=12. (avec 0<=T<=1)


Hippocampe

étant donné que v= d/t, ne serait-ce pas d=vt et donc 12 = Tvm(t)
si non, pourrait-on m'en expliquer la raison.
de plus, n'a-t-on pas 1/2<=T<=1 ?
En reprenant l'idée de la démonstration par l'absurde et en suivant Tvm(t)=12 j'arrive à quelque chose qui me parait logique mais ma logique n'est peut-etre pas la bonne...

[Hippocampe]

Bonsoir Claire,

Pardon mais je ne comprends pas ce que tu veux me dire? Tu critiques ma méthode? Ou tu veux suggérer la tienne?
Si j'ai merdé dans ma démonstration, dis-moi à quelle étape.

Je n'ai pas fait de maths depuis longtemps et je présente mal les choses?

H

[perplexe]

Il me semble qu'il y a un problème d'énoncé. La démonstration par l'absurde ci-dessus ne me paraît pas démontrer qu'il il y un intervalle "d'un seul bloc" d'une demi heure où 6 km sont parcourus mais plutôt qu'on peut trouver un ensemble d'intervalles totalisant une demi heure où la distance parcourue a été de 6 km. Ce n'est pas la même chose.

[Hippocampe]

Salut,

Ne sois pas si perpexe!

L'énoncé est aussi clair que la démonstration par l'absurde est bonne. C'est d'ailleurs ce que suggérait au début Monsieur23,

Et:
"qu'on peut trouver un ensemble d'intervalles totalisant une demi heure où la distance parcourue a été de 6 km. Ce n'est pas la même chose."
n'est effectivement pas la même chose ni la chose demandée non plus.

Bonne soirée,

H

[nuage]

Salut à tous.
Juste une remarque, pour que la démonstration soit valable il faut que distance parcourue soit une fonction continue du temps. Pas de téléportation instantanée.

[Hippocampe]

voir:

"vm(0)=0
v est continue
vm est continue"

La réponse est... Claire.

Maintenant j'arrête et je me désabonne de ce fil.

[Claire91]

C'est ok j'ai tout compris.
Merci beaucoup Hippocampe.
Et voyons Perplexe, ne cherche pas les détails où ils ne sont pas...