Problème des vaches et prairies de Newton

[Zebulon]

Bonjour à tous,
voici un curieux problème figurant dans l'Arithmétique universelle (1707) de Newton.

a vaches tondent b prairies en c jours; a' vaches tondent b' prairies en c' jours; a'' vaches tondent b'' prairies en c'' jours.
Existe-t-il une relation entre ces neuf quantités et quelle est-elle alors?
On suppose que les prairies donnent autant de fourage l'une que l'autre, que l'herbe y croît de façon uniforme et constante, et que les vaches y broutent chaque jour la même quantité.

[rene38]

Bonjour

sans doute

= nombre de prairie(s) tondue(s) en 1 jour par 1 vache.

[Zebulon]

On cherche en fait UNE relation liant toutes les inconnues.

[rene38]

alors, quelques produits en croix et

ab'c-a'bc'+ab"c-a"bc"+a'b"c'-a"b'c"=0

[Zebulon]

Voici la solution que j'avais trouvée:
l'herbe d'ine prairie est initialement en quantité x; elle pousse de y en une journée, et chaque vache en mange quotidiennement z. Alors à la fin de la première journée, la quantité d'herbe restant sur toutes les prairies b sera bx+by-az;
à la fin du deuxième jour : bx+2by-2az;
à la fin du c-ième jour : bx+cby-caz, et cette dernière égalité doit être nulle.
On a de même b'x+c'b'y=0 et b''x+c''b''y-c''a''z=0.
On a donc trois équations homogènes du premiers degré en x,y,z.
Donc:
. Après on développe le déterminant et voilou!