Problème cintrage arc

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
JBox
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Problème cintrage arc

par JBox » 07 Mar 2022, 18:40

Bonjour à tous, et merci par avance à ceux qui viendront m'apporter à nouveau leur aide.

dans le cadre de mon travail je suis confronté à une petite énigme mathématique un peu bloquante semblable à celle que j'ai pu poster il y a quelque mois

https://ibb.co/yyYNb8X
Image

je suis à la recherche de l'angle et la longueur en rouge,
avec en données d'entrée les valeurs vertes.

Merci par avance



GaBuZoMeu
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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 07 Mar 2022, 18:46

Bonjour,

Pas très clair ton schéma sur la gauche.
Il y a une partie droite ? Si oui où commence l'arc de cercle ?

lyceen95
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Re: Problème cintrage arc

par lyceen95 » 07 Mar 2022, 21:40

Je mets un lien vers la discussion précédente, éventuellement ça peut aider ?
https://www.maths-forum.com/enigmes/cintrage-arc-t251345.html#p1497209

Pisigma
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Re: Problème cintrage arc

par Pisigma » 07 Mar 2022, 22:58

Bonjour,

@lyceen95 un détail, en relisant l'ancien post , je me suis rendu compte que ma résolution était beaucoup, beaucoup,... trop longue alors qu'il suffisait d'élever les 2 équations au carré et ensuite de les ajouter

JBox
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Re: Problème cintrage arc

par JBox » 09 Mar 2022, 09:40

GaBuZoMeu a écrit:Bonjour,

Pas très clair ton schéma sur la gauche.
Il y a une partie droite ? Si oui où commence l'arc de cercle ?


Bonjour,
Oui il y a une partie droite tangente à l'arc au bout de la cote des 105
la droite de 245.91 passe par le centre du cercle (de l'arc)

J'espère être clair dans mon explication.
Merci à vous

GaBuZoMeu
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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 09 Mar 2022, 10:58

Bonjour,

J'appelle l'angle cherché, et le rayon du cercle (également inconnu). La longueur que tu cherches sera facile à déterminer une fois connu

Je note ta longueur cotée 1090, celle cotée 245,91, celle cotée 45 et celle cotée 60. Alors les deux équations

te permettront de trouver et : tu résous le système en et avec en paramètre et tu résous ensuite pour avoir .

JBox
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Re: Problème cintrage arc

par JBox » 09 Mar 2022, 12:50

GaBuZoMeu a écrit:Bonjour,

J'appelle l'angle cherché, et le rayon du cercle (également inconnu). La longueur que tu cherches sera facile à déterminer une fois connu

Je note ta longueur cotée 1090, celle cotée 245,91, celle cotée 45 et celle cotée 60. Alors les deux équations

te permettront de trouver et : tu résous le système en et avec en paramètre et tu résous ensuite pour avoir .


Merci GaBuZoMeu,
Cette première étape me permet d'avancer un peu néanmoins la résolution est compliquée à mon niveau. :?
Serait-il possible d'avoir un nouveau coup de pousse sur la résolution de ce système ? :roll:

GaBuZoMeu
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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 09 Mar 2022, 20:22

Je suis curieux.
Quelle est ta profession ?
D'où vient ce problème spécifique ?

JBox
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Re: Problème cintrage arc

par JBox » 10 Mar 2022, 09:54

GaBuZoMeu a écrit:Je suis curieux.
Quelle est ta profession ?
D'où vient ce problème spécifique ?


Je suis en cours de conception d'une voute de ce type :
Image

Pour déterminer la géométrie, le commercial peut spécifier, dans ce cas une corde ainsi qu'une flèche (1090 et 245 ici) et avec ces donnée je dois pouvoir déterminer par calcul les cotes de production (celles en rouge en font partie).

Voilà voilà,
En espérant avoir satisfait ta curiosité.

GaBuZoMeu
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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 10 Mar 2022, 12:39

Oui, merci.

Le système se réécrit



Une fois là, on peut confier la résolution à un système de calcul formel. J'utilise SageMath sui est libre et gratuit.

Je rentre les paramètres et variables du problème. Je prends et . Je résous le système linéaire en et , puis je résous en :
Code: Tout sélectionner
a,b,c,d,R,x,y=var("a,b,c,d,R,x,y")

eq1 = R*x-d*y==R-b
eq2 = (c+d)*x+R*y==a
sol=solve([eq1,eq2],[x,y],solution_dict=True)[0]

eqR = sol[x]^2+sol[y]^2==1
sols=solve(eqR,R,solution_dict=True)
sols

Ça me sort des trucs atroces :

[{R: -1/12*(12*a*c - 12*c^2 - 24*c*d - 12*d^2 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^2/b^2)*(-I*sqrt(3) + 1)/(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) - 1/12*(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) + 1/6*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)/b},
{R: -1/12*(12*a*c - 12*c^2 - 24*c*d - 12*d^2 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^2/b^2)*(I*sqrt(3) + 1)/(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) - 1/12*(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) + 1/6*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)/b},
{R: 1/6*(12*a*c - 12*c^2 - 24*c*d - 12*d^2 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^2/b^2)/(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) + 1/6*(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) + 1/6*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)/b}]

Il y a trois solutions, ce qui est normal parce qu'on aboutissait à une équation en de degré 3. On remarque que la dernière est la seule solution réelle, on la choisit. Ensuite on évalue cette solution pour les données du graphique, on récupère l'angle (donné en degrés, pratiquement 25°) et la cote manquante. Il y a bien sûr beaucoup de décimales, le calcul se fait en flottants.

Code: Tout sélectionner
solR=sols[2][R]

donnees = a==1090, b==245.91, c==45, d==60

valR=solR.subs(donnees)
valR

2353.96372756431

Code: Tout sélectionner
valx=sol[x].subs(donnees,R==valR)
alpha=arccos(valx)
alpha*180/pi.n()

25.0002639456978

Code: Tout sélectionner
(a-c*valx).subs(donnees)

1049.21623719359

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Re: Problème cintrage arc

par JBox » 10 Mar 2022, 12:56

GaBuZoMeu a écrit:Oui, merci.

Le système se réécrit



Une fois là, on peut confier la résolution à un système de calcul formel. J'utilise SageMath sui est libre et gratuit.

Je rentre les paramètres et variables du problème. Je prends et . Je résous le système linéaire en et , puis je résous en :
Code: Tout sélectionner
a,b,c,d,R,x,y=var("a,b,c,d,R,x,y")

eq1 = R*x-d*y==R-b
eq2 = (c+d)*x+R*y==a
sol=solve([eq1,eq2],[x,y],solution_dict=True)[0]

eqR = sol[x]^2+sol[y]^2==1
sols=solve(eqR,R,solution_dict=True)
sols

Ça me sort des trucs atroces :

[{R: -1/12*(12*a*c - 12*c^2 - 24*c*d - 12*d^2 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^2/b^2)*(-I*sqrt(3) + 1)/(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) - 1/12*(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3)*(I*sqrt(3) + 1) + 1/6*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)/b},
{R: -1/12*(12*a*c - 12*c^2 - 24*c*d - 12*d^2 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^2/b^2)*(I*sqrt(3) + 1)/(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) - 1/12*(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3)*(-I*sqrt(3) + 1) + 1/6*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)/b},
{R: 1/6*(12*a*c - 12*c^2 - 24*c*d - 12*d^2 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^2/b^2)/(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) + 1/6*(18*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)*(a*c - c^2 - 2*c*d - d^2)/b + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)^3/b^3 + 54*(a^2*d^2 - c^2*d^2 - 2*c*d^3 - d^4 + (c^2 + 2*c*d + d^2)*b^2)/b + 18*sqrt(1/3*a^4 + 2/3*a^2*b^2 + 1/3*b^4 + 11/3*b^2*c^2 + 2/3*a*c^3 - 1/3*c^4 + 2/3*(2*a - c)*d^3 + 1/3*d^4 + 2/3*(3*a^2 + b^2 - 3*a*c)*d^2 - 2/3*(a^3 - 7*a*b^2)*c + 2/3*(2*a^3 + 2*a*b^2 + c^3 - (3*a^2 - 7*b^2)*c)*d)*(b^2*c - 2*(a - c)*d^2 + d^3 + (a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2)*d)/b^2)^(1/3) + 1/6*(a^2 + b^2 - 2*a*c + c^2 - d^2)/b}]

Il y a trois solutions, ce qui est normal parce qu'on aboutissait à une équation en de degré 3. On remarque que la dernière est la seule solution réelle, on la choisit. Ensuite on évalue cette solution pour les données du graphique, on récupère l'angle (donné en degrés, pratiquement 25°) et la cote manquante. Il y a bien sûr beaucoup de décimales, le calcul se fait en flottants.

Code: Tout sélectionner
solR=sols[2][R]

donnees = a==1090, b==245.91, c==45, d==60

valR=solR.subs(donnees)
valR

2353.96372756431

Code: Tout sélectionner
valx=sol[x].subs(donnees,R==valR)
alpha=arccos(valx)
alpha*180/pi.n()

25.0002639456978

Code: Tout sélectionner
(a-c*valx).subs(donnees)

1049.21623719359


Alors là....
Je ne sais plus quoi dire. :o

En gros une résolution avec une table de valeurs serait le plus simple pour moi je pense...
Je vais regarder si SageMath est à ma portée... merci pour le tuyau et merci beaucoup pour le temps passé sur cette question.

Je me disais que j'étais bloqué sur une résolution simple... pas si simple apriori...
Bonne journée.
JB

GaBuZoMeu
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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 10 Mar 2022, 13:02

Recopier systématiquement le message précédent ne sert à rien et pénalise la lecture du fil !

La troisième solution pour R est atroce, mais tu peux la faire avaler par un tableur.

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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 10 Mar 2022, 16:33

La preuve :

Image

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Re: Problème cintrage arc

par GaBuZoMeu » 10 Mar 2022, 17:52

GeoGebra peut aussi avaler la formule atroce.
Vous pouvez jouer avec l'appliquette GeoGebra ici : https://www.geogebra.org/m/sgbfkjvm

 

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