Problème de boules

[majin]

Bonjour, on a un ensemble de boules de masse . En enlevant une boule quelconque à , on peut constituer deux ensembles de boules, de même masse. Soit la somme des boules de

1- soit dans , montrer qu'il existe des entiers tous différent de tels que

2-Montrer que toutes les boules ont la même masse

La première question est évidente mais je sèche pour la deuxième, j'ai pensé à résoudre un système mais je ne vois pas comment

Merci

[Doraki]

Avec la qustion 1 tu obtiens un système linéaire de (2n+1) équations à (2n+1) inconnues.
Si tu le mets sous forme d'une matrice A, A a des 1 sur la diagonale et des 0 ou des 2 partout ailleurs.
Donc son déterminant est un nombre impair, donc non nul, donc A est inversible, donc le système a une unique solution.
Comme x1=x2=...=x(2n+1) = S/(2n+1) est une solution du système, c'est donc la seule solution.

[majin]

Merci, je vois maintenant l'idée, mais pourquoi on a 2n+1 équations, moi je dirai que n+1 équations?

[Doraki]

Tu as une équation pour chaque i dans [1 ; 2n+1], ça fait 2n+1 équations en tout.