Probas TS

[Elias]

Salut,

Un petit défi assez simple que j'ai créé en corrigeant un exercice niveau TS.

Soit un ensemble fini avec .
On se place dans l'espace probabilisé d'univers muni de la probabilite uniforme (modèle d'équiprobabilité).

Donner une condition (nécessaire et suffisante) sur pour que tout couple d'évenéments distincts non triviaux soient dépendants.

Autrement dit, donner une condition (nécessaire et suffisante) sur pour que la propriété suivante soit satisfaite :

quels que soient les événements avec , on a: " et dépendants" (i.e. A et B non indépendants)

[hdci]

Si , la condition nécessaire et suffisante n'est-elle pas alors premier ?

et sont indépendant ssi =

Si on appelle on a et de même

Donc

si alors , et on a


Si est premier, ce n'est jamais possible.

[Elias]

Ok ! Il faut justifier tout de même dire que si n est premier, alors n ne peut pas diviser en citant au moins Gauss par exemple.

Mais là, tu n'as démontré qu'une partie: que si n est premier, alors il y a dépendance de tous les duos événements non triviaux.
Il reste à voir la réciproque.

[hdci]

Si n n'est pas premier, alors il existe et tel que avec entre et . On suppose que

Il s'agit alors de démontrer qu'il existe un couple tel que
Considérons de cardinal et de cardinal
Alors , il suffit donc que soit un singleton.

Ce qui est possible si

En effet, si cette condition est remplie, et si possède éléments, son complémentaire en possède , donc pour on prend éléments dans le complémentaire plus un élément de

Il s'agit donc de montrer qu'on a toujours

Or

Le discriminant du polynôme du second degré en p est strictement positif car , et le polynôme est négatif à l'intérieur des racines qui sont



Or justement, , donc est bien compris entre les racines donc

CQFD !

[Elias]

Ok c'est bon ! Bien joué !

Mais on peut conclure plus simplement !

Quand on a écrit avec , ça veut dire que , fois avec .
Cela donne alors

En particulier n+1 >= p+q

[beagle]

J'ai compris le raisonnement,
mais j'ai pas compris l'énoncé initial.
Possible de prendre un exemple?
"Donner une condition (nécessaire et suffisante) sur pour que tout couple d'évenéments distincts non triviaux soient dépendants."
c'est quoi des évènements non triviaux?

[hdci]

C'est donné un peu plus bas dans l'énoncé

quels que soient les événements avec , on a: " et dépendants" (i.e. A et B non indépendants)

Exemple 1 : si alors avec et on a et

Exemple 2 : avec les seuls couples indépendants sont ou

[beagle]

Je pense que je ne comprends pas ce qu'est munir un ensemble de de la probabilité P uniforme.
Cela signifie que l'on parle de toutes les parties possibles de l'ensemble?

Ok lu ensuite la fin de ton message.
Merci.

[hdci]

La loi uniforme sur un ensemble fini non vide de cardinal n est l'équiprobabilité :

[Ben314]

Salut,
En restant plus terre à terre, si tu jette un dés à 6 faces classique, alors les événements "j'ai obtenu un nombre pair" et "j'ai obtenu un multiple de 3" sont indépendants et "non triviaux" (c'est à dire ni systématiquement vrai, ni systématiquement faux) : la proba du 1er est 3/6=1/2, celle du second 2/6=1/3 et la proba d'avoir les deux en même temps, c'est à dire de sortir un 6 est de 1/6 = 1/2 * 1/3.
Par contre, avec un dés à 7 faces (équiprobable), il est impossible de trouver deux événements indépendants et non triviaux.

[beagle]

La loi uniforme sur un ensemble fini non vide de cardinal n est l'équiprobabilité :

ça d'accord, mais l'exemple classique est un dé 6 faces,
dans oméga si je ne mets que les singletons 1,2,3,4,5,6
ben comme l'inter sera toujours vide, c'est toujours dépendant.

donc c'est bien différent de munir de la loi uniforme toutes les parties

c'est "juste"que je manque de vocabulaire et definition.
mais c'est OK avec ce que vous avez dit.
Merci, désolé du dérangement.

[hdci]

Dans le cas classique du dé à 6 faces, chaque singleton est évidemment indépendant des autres, et que ce soit dans la loi uniforme ou pas (sauf si pour une loi donnée il y a un des singletons de proba nulle).

Dans un univers fini, donner une loi de probabilité sur les parties (dans le sens application dans telle que la probabilité de la réunion de deux parties disjointes est égale à la somme des probabilités et telle que la proba de vaut 1 ) est équivalent à donner une loi de probabilité sur les singletons, puisque alors la probabilité d'une partie est exactement égale à la somme des probabilités des singletons qui la composent.

donc c'est bien différent de munir de la loi uniforme toutes les parties

Je ne saisis pas bien ce qu'est "munir de la loi uniforme toutes les parties" : est-ce donner à chaque partie la même probabilité ? Mais alors c'est une loi de probabilité sur mais pas sur

Merci, désolé du dérangement.

No problemo !

[Elias]

En fait, on dit souvent lorsqu'on introduit les probas conditionnelles que la connaissance d'une information sur une expérience modifie la probabilité des événements (mais c'est vrai que lorsqu'il y a dépendance des événements). C'est en lisant ce genre de phrases que je me suis posé la question et qui inspire cet exo.

Après, c'est quand même bizarre mais j'ai pas trouvé un seul cours de proba qui donne un résultat d'existence (où d'inexistence) d'événements indépendants dans un espace probabilisé. Ça serait quand même la moindre des choses après avoir donné la définition d'événements indépendants ?

[beagle]

Je reviens pour des problèmes d'écriture,
ça dit quoi d'écrire tel truc

là je vais parler de la proba d'un ensemble.

On a eu l'exemple loi uniforme sus-jaccente
genre le dé 6 faces
si j'écrits A={1,2,3}
alors mon p(A) sera réalisé si 1, ou 2 , ou 3 sortent

Mais mon problème à moi est comment on écrit le truc suivant.
On distribue des jetons certains rouges et d'autres noirs à Pierre et Paul.
Je veux appeler
je cherche proba que Pierre reçoive les jetons rouges.
Je souhaite appeler p(Ji) proba Pierre reçoive le jetonJi
et maintenant je voudrais un ensemble A de k jetons rouges
je voudrais que A soit réalisé lorsque les k jetons rouges sont donnés à Pierre
si je note A={Ja, Jb,..,Jk}
je ne veux plus dire que Ja ou Jb est réalisé pour que A soit réalisé.
Donc je vois bien que c'est l'évènement élementaire de omega qui n'est pas pareil, mais pour autant...
Donc comment on note tout cela pour que cela soit clair?

En vous remerciant.

[beagle]

Salut beagle, tu appelles A l'évènement Pierre reçoit les k jetons Ja à Jtruc
et alors tu pourras faire ton
p(Ji sachant A)
proba d'avoir Ji sachant A.

[hdci]

Tout le principe est de bien décrire l'univers des issues (des événements singletons).

Si j'ai bien compris, on dispose de jetons dont sont rouges, et on les distribue tous à Pierre et à Paul

Première question : reçoivent-ils autant de jetons l'un que l'autre ? (auquel cas est pair)
Seconde question : les jetons sont-ils numérotés (donc différentiables) ?

Je suppose que la réponse est "oui" aux deux questions et on pose . Pour fixer les idées (ou quitte à renuméroter...), on suppose que les jetons sont d'abord numérotés rouges puis noirs (les jetons sont rouges, les autres sont noirs)
Du coup, on s'intéresse aux parties de n éléments d'un ensemble en comportant : chacune de ces parties constitue une issue, et il y a parties donc autant d'issues.

Si la répartition n'est pas truquée, cela donne les probabilités pour une issue : la probabilité d'une issue est exactement égale à

Pour savoir si Pierre a reçu le jeton , il suffit de considérer le nombre de parties qui contiennent le jeton : ce sont exactement les parties constituées de union " éléments pris parmi " et l'analyse combinatoire fait le reste.

Si on veut maintenant savoir la probabilité que Pierre ait jetons rouges (indépendamment de leur numéro), on compte de même le nombre de parties. Une partie de éléments en comptant rouges, c'est une partie qui comporte jetons parmi et parmi et là aussi un décompte donne le résultat.

Dans tous les cas l'univers est

[beagle]

merci c'est l'écriture qui me pose problème.
Donc je relis ta manière d'écrire. Merci super.

Mais je voudrais écrire p d'un jeton rouge soit pour Pierre sachant que l'ensemble A de k jetons rouges sont déjà donnés.

[hdci]

Mais je voudrais écrire p d'un jeton rouge soit pour Pierre sachant que l'ensemble A de k jetons rouges sont déjà donnés.

En utilisant "sachant que", on est dans le probabilités conditionnelles, mais je n'arrive pas à bien comprendre ce que tu cherches : probabilité qu'un jeton rouge (un jeton en particulier ?) soit distribué à Pierre sachant que k jetons rouges ont déjà été distribués (à Pierre ou à Paul ?)

[beagle]

Mais je voudrais écrire p d'un jeton rouge soit pour Pierre sachant que l'ensemble A de k jetons rouges sont déjà donnés.

En utilisant "sachant que", on est dans le probabilités conditionnelles, mais je n'arrive pas à bien comprendre ce que tu cherches : probabilité qu'un jeton rouge (un jeton en particulier ?) soit distribué à Pierre sachant que k jetons rouges ont déjà été distribués (à Pierre ou à Paul ?)

oui,
je sais parfaitement faire le raisonnement et je connais parfaitement la proba
il s'agit de différents modèles

il y a des rouges des noirs, je cherche juste la distribution sur Pierre, donc mes probas c'est toujours Pierre reçoit le rouge machin
je veux pouvoir chercher la proba d'un évènement qui est le jeton rouge i est attribué à Pierre
je le note Ji et je cherche p(Ji)
j'ai déjà connaissance que Pierre a reçu k jetons rouges, c'est cet ensemble que je ne sais pas noter,
peut-être je peux juste ètre descriptif et dire
je note A l'évènement Pierre a reçu k jetons rouges

and now je fais mon p de Ji sachant A
(que je sais faire c'est pas le problème)

mais en étant descriptif d'un ensemble de jetons rouges je vois mal par rapport au cas uniforme de l'ensemble {1,2,3} cet ensemble est réalisé si on a 1, 2 ou 3
alors si moi je dis soit A l'ensemble de k jetons rouges, je ne voudrais pas que cela soit A réalisé si un des jetons rouges est attribué à Pierre,
voilà ma perturbation d'écriture et de compréhension de comment vous écrivez bien vous!

[beagle]

faut-il écrire: A= {(J1, J2,...,Jk)}
et là A est réalisé, c'est quand j'ai tout (J1,J2,...Jk) ????