Probas : c'est les boules

[Galt]

Une petite énigme de probas (dont je connais la réponse)
Dans une urne, se trouvent a boules noires et b boules blanches. On en tire simultanément 2. Quelle relation doivent vérifier a et b pour que les probabilités des événements "Les deux boules sont de même couleur" et "Les deux boules sont de couleurs différentes" soient égales.
Qu'y a-t-il de curieux dans le résultat obtenu ?

[bdupont]

ce qui revient à (a-b)²=a+b et (a,b) entiers

soit a= n(n+1)/2 et b=n(n-1)/2 pour n décrivant N.

Si a et b très grand alors il suffit que a=b (on se retrouve alors dans le problème bien connu de Madame Dupont et ses deux enfants abondamment commenté sur ce forum il y a 2-3 semaines)

[Galt]

Ce qui est curieux dans ce résultat, c'est que cette condition n'est pas stable par homothétie : si (a,b) est une répartition convenable de l'urne, alors (2a,2b) ne l'est pas ni en général (ka,kb).
Les répartitions convenables sont composées de deux nombres triangulaires consécutifs :
(1,3) (3,6) (6,10) (10,15) ...

[Zebulon]

Bonjour,
c'est vrai que c'est tout à fait remarquable! Ca va complètement à l'encontre de l'intuition:on n'imagine pas que celà puisse suivre la "suite des nombres triangulaires"!!!

Alors les Chimerade, Alpha, Becirj, Julian, Mathador, Nightmare (Wutang?) et compagnie, on se réveille ( :dodo: -> :marteau: -> :shock:) et on commente ce joli "phénomène de Galt" :we: !!!

Vous en connaissez d'autres? Je suppose qu'il doit y en avoir pas mal en dénombrement, non?... m'enfin... je dis ça par intuition, et on voit bien qu'il faut s'en méfier de cette intuition...
Zeb.

[yos]

Ce qui est curieux dans ce résultat, c'est que cette condition n'est pas stable par homothétie

Est-ce vraiment étonnant? Les deux proba considérées sont elles mêmes pas stables par homothétie.

[Galt]

C'est vrai que ces deux probas ne sont pas stables par homothétie. Ce phénomène m'étonne quand même : dans l'urne à 6 boules noires et 10 boules blanches, il y a autant de chances d'avoir deux couleurs différentes que deux couleurs identiques, dans l'urne d'à côté à 6 noires et 10 blanches aussi, mais quand je réunis mes deux urnes ce n'est plus vrai. Autrement dit, ce n'est pas une question du rapport entre les deux quantités noir et blanc, mais bien des deux quantités.

[Patastronch]

C'est vrai que ces deux probas ne sont pas stables par homothétie. Ce phénomène m'étonne quand même : dans l'urne à 6 boules noires et 10 boules blanches, il y a autant de chances d'avoir deux couleurs différentes que deux couleurs identiques, dans l'urne d'à côté à 6 noires et 10 blanches aussi, mais quand je réunis mes deux urnes ce n'est plus vrai. Autrement dit, ce n'est pas une question du rapport entre les deux quantités noir et blanc, mais bien des deux quantités.

Sait tu que le meme genre de phénomene pour le systeme de vote francais à 2 tour se produisait (bine que la cause du phénomène n'a à priori rien a voir) ?

Un groupe de N personnes votent et élisent un candidat A.
Un second groupe de M personnes votent et élisent le même candidat A.
Mais une fois regroupé le groupe de N+M personnes ainsi formé votent et elisent le candidat B, sans changer leur vote ou leur préférence de candidat.
(voir exemple 7 de cet article )