Indépendance et proba nulle

[beagle]

.........................................
c'était ce fil là GBZM les évènements indépendants avec proba nulle,
et une formule qui ne marche pas dans ce cas.
voir les references données
deux articles dans une revue de maths

ce qui était écrit dans l'article?
La formule de l'indépendance qs la proba de l'inter est la multiplication des probas
déclare statistiquement indépendant des évènements
des évènement non logiquement indépendants
ça c'était une phrase assez claire

l'autre phrase claire, ceci nous conduit à proposer une autre définition des évènements indépendants.
Ce que meme un médiocre lecteur de jouranl mathématique en anglais comprend comme

la définition est pourrie pour les probas nulles

[beagle]

https://www.youtube.com/watch?v=Z6NmYnoQvYI

[Pseuda]

Bonjour,

Réponse 1 : probabilité d'un événement impossible = probabilité d'un événement impossible sachant qu'un événement possible a été réalisé = 0 dans tous les cas.

[beagle]

https://www.youtube.com/watch?v=-VfnSZt-5pw

[Pseuda]

événement impossible : (X=0,1) pour une loi continue, de probabilité =0
événement de probabilité non nulle (possible) : (X<0,5) pour pouvoir appliquer la probabilité conditionnelle

[beagle]

.................................................Et surtout ensuite est-ce bien raisonnable?

[kyrie243]

Vous avez réussi à me faire bugué moi qui cherche à apprendre et m'améliorer en probabilités...
Bon sincèrement j'ai essayé de faire de la magie pour montrer que ce n'est pas indépendant, de prendre deux variables aléatoires qui suivent cette loi et de calculer P(0.1-1/n <= X <= 0.1, Y <= 0.5) j’obtiens que ça tend vers 0 qui est égal au produit des deux probabilités, et donc au final j'en reviens au même point, que c'est indépendant.

[Pseuda]

En détaillant :

{X=0.1 et X<0.5}={X=0.1} car l'événement (X=0.1) est inclus dans l'événement (X<0.5),
ainsi P({X=0.1 et X<0.5})=P(X=0.1)=0

P(X=0.1)*P(X<0.5)=0*P(X<0.5)=0

Donc les événements sont indépendants.

[beagle]

[.............0 3
0 5

[Pseuda]

C'est reparti. Si tu avais suivi mon post de 11h29, qui emploie la méthode que tu affectionnes :

P(X=0.1 sachant que X<0.5)=0=P(X=0.1), car la probabilité d'un événement impossible, sachant ou non n'importe quel événement, est nulle. P(A sachant B)=P(A) donc les événements A et B sont indépendants.

[Skullkid]

J'ai mis cet exemple (qui n'est pas de moi, hein, on me l'a montré au début de mon apprentissage rigoureux des probas et je suis certain de l'avoir déjà vu sortir ailleurs sur le forum) pour illustrer le fait que certaines définitions mathématiques peuvent donner lieu à des choses contre-intuitives. J'ai aussi pris soin d'insister lourdement sur le fait que l'intuition est un truc personnel, et que ce qui est contre-intuitif pour l'un n'a aucune raison de l'être pour l'autre. Le message de fond que je veux faire passer est un peu toujours le même : l'intuition peut servir d'aide pour comprendre et/ou maîtriser de nouvelles notions mathématiques, mais elle ne doit jamais avoir le dernier mot. Si un formalisme mathématique rigoureux, utile et d'efficacité établie entre en conflit avec une intuition, ben tant pis pour l'intuition. Après, on peut si on le souhaite chercher à établir un formalisme différent qui "s'accorde mieux" avec UNE intuition, mais il faut que ce formalisme soit rigoureux et compréhensible de façon univoque par tout le monde, sinon il ne sert à rien.

Le fait (vrai, par définition) que deux événements sont forcément indépendants lorsque l'un au moins est de probabilité nulle a gêné mon intuition quand je l'ai réalisé la première fois. Visiblement ça n'a pas été le cas pour Pseuda, mais peu importe : on dispose d'une définition rigoureuse de ce que sont des événements indépendants, et donc on peut se mettre d'accord objectivement sur le fait que deux événements sont indépendants ou pas. Donc à la question du premier post de beagle, je réponds 1, ou une version légèrement modifiée de 1 : oui, c'est indépendant, et s'il y a un problème, c'est un faux problème tant qu'il n'a pas été formulé de façon mathématique ("ce résultat me gêne" est évidemment un argument irrecevable).

Comme je ne fais que répéter ce que j'ai déjà écrit ailleurs, et que les autres intervenants vont sans doute faire de même, je vais probablement m'arrêter là avant que ça ne tourne au troll complet.

[Ben314]

Salut,
Perso, je trouve absolument pas ça "contre intuitif", mais uniquement "totalement crétin" vu qu'à mon sens c'est la même chose que, par exemple, la phrase "le 31 février prochain, les poules auront des dents".

Bref, c'est pas faux, mais c'est sans le moindre intérêt....

[Pseuda]

Le message de fond que je veux faire passer est un peu toujours le même : l'intuition peut servir d'aide pour comprendre et/ou maîtriser de nouvelles notions mathématiques, mais elle ne doit jamais avoir le dernier mot.

Entièrement d'accord, et c'est particulièrement vrai surtout en proba ! Je rajouterais que cela permet aussi de développer de nouvelles théories mathématiques, car il faut un point de départ. Par contre, des fois l'intuition n'est d'aucun secours ; par exemple, "une suite dont la différence de deux termes consécutifs tend vers 0 est-elle convergente ?" il faut du formalisme.

[Pseuda]

Salut,
Perso, je trouve absolument pas ça "contre intuitif", mais uniquement "totalement crétin" vu qu'à mon sens c'est la même chose que, par exemple, la phrase "le 31 février prochain, les poules auront des dents".

Bref, c'est pas faux, mais c'est sans le moindre intérêt....

Comme dit Skullkid, ça aussi c'est du ressenti personnel, de l'intuition.

[Ben314]

Je sais pas comment vous raisonnez, mais réellement, ça vous semblerait-t-il un tant soit peu logique de dire qu'un événement dont on est sûr et certain qu'il ne va pas se produire (ou au contraire dont on est sûr et certain qu'il va se produire) est dépendant de quelque chose ?

Parce que perso, de se demander si un truc sûr et certain est "dépendant" de je sais pas quoi, il me semble déjà que c'est on ne peut plus clairement "une question à la con", mais que si on doit forcément y répondre, ben la réponse est évidement "NON" : un truc sûr et certain, il est évidement indépendant de tout le reste, non ?

[beagle]

………………….-troll3: la notion ……………………..

[aviateur]

Bonjour
Finalement le problème évoqué est le suivant (sur un exemple).
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0,1].
J'effectue mon expérience aléatoire et j'obtiens un nombre que je désigne par a et
On a bien sûr . C'est à dire que ce qui est arrivé (le résultat de notre expérience aléatoire) n'avait aucune chance d'arriver et pourtant c'est arrivé. Etonnant, non!

[pascal16]

On avait déjà eu une discussion il y a 6 mois sur le sujet.

sur un même ensemble Ω
p(A⋂B)=p(A)*p(B) <=> A et B sont des événement indépendant
permet de prendre en compte le fait que p(A) ou p(B) peuvent être nuls fait la liaison entre la définition intuitive des proba conditionnelles (ie : celle qui dérivent d'un vraie phrase de français à laquelle une présentation mathématique se doit de répondre sans ambiguïté) et la définition "bac S".

Si on veut aller plus loin dans cet exemple, je dois quitter les mats :
"si X est une variable aléatoire uniforme sur [0,1], les événements (X = 0.1) et (X < 0.5) sont indépendants"
imaginons que X regarde une propriété physique pendant un temps donné.
p(X=0.1) est donc la mesure par cumul de quelque chose à l'instant t=0.1, pendant un temps nul. Or on ne sait pas déclencher et arrêter une mesure en un temps nul. On a donc un événement non mesurable, et pas vraiment une probabilité nulle. On utilise le fait que plus le temps est faible, plus le cumul est faible, donc, par passage à la limite, on met 0 en probabilité.
En physique classique, on ne peut pas vraiment affirmer qu'une chose non mesurable soit indépendante de quoi que se soit.

De plus, cette vision totalement fausse en physique quantique (donc en fait dans toute physique qui n'est qu'une approximation) où on est à la fois dans du discret et qu'un événement lui même n'est descriptible que par une probabilité. Si on fait des mesure à un instant précis, la somme de toutes les proba des événements élémentaires (vus façon physique classique) ne fait pas 1 (et en plus, on ne connait pas toujours Ω).

[beagle]

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[Pseuda]

Bonjour
Finalement le problème évoqué est le suivant (sur un exemple).
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0,1].
J'effectue mon expérience aléatoire et j'obtiens un nombre que je désigne par a et
On a bien sûr . C'est à dire que ce qui est arrivé (le résultat de notre expérience aléatoire) n'avait aucune chance d'arriver et pourtant c'est arrivé. Etonnant, non!

Bonjour,

Je ne suis pas trop d'accord (. L'expérience aléatoire qui aurait permis de tirer un nombre a précis, ne suit pas une loi continue. Par exemple, on veut tirer un nombre entre 0 et 1. Donc on tire ses décimales les unes après les autres (jusqu'à l'infini puisque l'expérience aléatoire suit une loi continue) : on n'obtient jamais un nombre a précis, il y a toujours une incertitude sur les décimales qui suivent.