Probabilités

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
frawa
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Probabilités

par frawa » 30 Mar 2022, 01:03

Bonjour,

Nous étions le weekend dernier cinq amis à jouer aux dés. Nous disposions d'un dé à vingt faces. Ayant chacun lancé le dé une fois, le tirage fit apparaître une série de cinq nombres à la suite (10-11-9-13-12).

Nous nous sommes demandés quelle pouvait être la probabilité d'un tirage pareil.

Comme j'avais tiré le plus petit nombre, l'explication m'est échue. Mais comme je ne maîtrise pas bien les mathématiques, je vous soumets le problème.

Je ne me rends pas bien compte de l'éventuelle difficulté de l'équation.
Je me doute que le premier lancé a une probabilité de 20, le second un peu moins, les suivants toujours moins, de telle sorte que

si n est le premier lancé, et n(2), n(3), n(4), n(5) les quatre autres lancés,
n(2) = n +/- 4.

Je n'arrive pas à faire la suite, car il me semble qu'il faille combiner le fait que n(3) doit être dépendant à la fois de n et de n(2), si tant est que l'écart entre n et n(2) soit inférieur à 4 (autrement dit, si j'ai tiré 10 et 11, le troisième lancé peut encore être 7, 8, 9, 12, 13 ou 14, soit 6/20, alors que si j'ai tiré 10 et 14, le troisième lancé ne peut plus être que 11, 12, ou 13, soit 3/20)

Bref, ma compétence mathématique m'empêche de penser efficacement le problème à partir d'une bonne équation. Aussi je m'en remets à l'aimable curieux qui voudrait me présenter un raisonnement adéquat.

Merci,

François



GaBuZoMeu
Habitué(e)
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Re: Probabilités

par GaBuZoMeu » 30 Mar 2022, 10:10

Bonjour,

On va supposer que quand on tire un dé à 20 faces, les 20 résultats possibles de 1 à 20 sont équiprobables (chacun a probabilité 1/20). Et on va supposer aussi que le dé ne se souvient pas de ce qu'il a fait aux tirages précédents, précisément que les tirages sont indépendants.

Alors la probabilité d'obtenir 10-11-9-13-12 est (1/20)^5 = 0.0000003125 (un peu plus de 3 pour 10 millions). C'est la même pour n'importe quelle suite de cinq nombres entre 1 et 20.

lyceen95
Membre Complexe
Messages: 2255
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Re: Probabilités

par lyceen95 » 30 Mar 2022, 15:12

Ici, le côté remarquable, c'est que les 5 valeurs se suivent (11,12,9,10,13) ou (9,10,11,12,13) : ces 2 tirages sont considérés comme gagnants.

La proba d'obtenir (9,10,11,12,13) dans cet ordre ou dans un autre, elle vaut combien ?
5 possibilités pour le 1er lancer (le premier lancer doit être 9, ou 10, ou 11, ou 12, ou 13)
plus que 4 possibilités pour le 2ème
etc
etc
Proba=(5*4*3*2*1)/20^5

Ici, je calcule la probabilité d'obtenir spécifiquement (9,10,11,12,13) ;Mais il y a 16 séries de ce type, considérées comme gagnantes (de (1,2,3,4,5) à (16,17,18,19,20))
Et ces 16 séries ont toutes la même proba.
Donc proba finale : (16*5*4*3*2*1)/20^5=0.0006

frawa
Messages: 2
Enregistré le: 30 Mar 2022, 00:36

Re: Probabilités

par frawa » 15 Avr 2022, 15:45

Merci beaucoup pour votre réponse !
Il me manquait l'outil intégral pour mener à bien le raisonnement.
Bonnes Pâques !
fw

 

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