Probabilités - Simulation sur ordinateur

[hammana]

L'ordinateur permet de faire des échantillonnages dans le cas de problèmes de probabilités difficiles ou imposssibles à résoudre. Je propose à ce sujet l'exercice suivant:

Deux joueurs de trictrac disposent chacun ses 15 pions comme suit:
2 pions sur chacune des cases 1,2,3 et 3 pions sur chacune des cases 4,5,6.
Ils lancent les deux dés à tour de rôle et chacun retire les pions des cases indiquées par les dés. Le joueur qui aura retiré tous ses pions en premier gagne la partie. Il est clair qu'il faut au moins 15 lancers de dés avant qu'une partie se termine.
Trouver pour chaque valeur de N la probabilité que la partie se termine au bout de N lancers de dés.
Trouver la probabilité que le joueur qui commence en premier gagne la partie.
La figure ci-dessous est le résultat d'une simulation portant sur 100.000 parties.
Je cherche à m'expliquer les variations visibles entre 15 et 25 parties.

[nuage]

Salut,
à mon avis ça traduit simplement le fait que le deuxième joueur à moins de chance de gagner que le premier.

[hammana]

Salut,
à mon avis ça traduit simplement le fait que le deuxième joueur à moins de chance de gagner que le premier.

C'est vrai, mais le phénomène s'arrête pour N>25 !

[nuage]

C'est vrai, mais le phénomène s'arrête pour N>25 !

Pas vraiment, on a toujours une probabilité inférieure pour le deuxième joueur quand les deux joueurs ont lancé le me nombre de fois les dés.
La seule exception est la paire 15 ; 16 mais, à vu de nez, ça a l'air d'une fluctuation acceptable dans le cadre d'une simulation.

[hammana]

Pas vraiment, on a toujours une probabilité inférieure pour le deuxième joueur quand les deux joueurs ont lancé le me nombre de fois les dés.
La seule exception est la paire 15 ; 16 mais, à vu de nez, ça a l'air d'une fluctuation acceptable dans le cadre d'une simulation.

S'il n'y a qu'un seul joueur la probabilité de retirer tous les pions est donnée par la courbe ci-dessous, déduite de 100000simulations.



(On voit qu'il faut au minimum 8 lancers de dés). De cette courbe on peut déduire mathématiquement la courbe correspondant à 2 joueurs donnée précédemment, et on comprend alors les irrégularités que présente cette dernière.

[Doraki]

J'comprends pas comment un joueur seul peut retirer ses 15 pions en 8 lancers

[hammana]

J'comprends pas comment un joueur seul peut retirer ses 15 pions en 8 lancers

P.ex en obtenant les résultats suivants:
1-1
2-2
3-3
4-4
4-5
5-5
6-6
6 et n'importe quoi

[Doraki]

Ah ok il lance deux dés ^^'.

Bon en fait nuage a déjà dit tout ce que je pensais alors.