Probabilités - Enigme du remplacement des 5 kiwis

[leon1789]

Merci MJoe

Le jour le plus probable où on mange le dernier kiwi "O" est donc le 8ième (avec une proba de 0.10752),
et la moyenne de 11.4 jours environ, comme tu as dit précédemment.

[MJoe]

Bonjour @leon1789 et bonjour à tous,

@leon1789, tu voulais dire le 28ème jour avec une probabilité de 0,9903347, soit 99,03347 %

[MJoe]

Bonjour à tous,

Peut-être que certain(e)s se demandent comment calculer (autrement que par la simulation d'une expérience aléatoire) le nombre moyen de jours, Nm, pour que tous les kiwis "O" soient mangés.
Il faut pour cela calculer l'espérance mathématique de la loi de probabilité de Y où Y est la variable aléatoire qui associe le nombre de jours pour que tous les kiwis soient dévorés (ou mangés).

Par exemple P(Y = 5) = 0,0384 , P(Y = 6) = 0,0768, P(Y=7) = 0,09984, etc.
Je note ESP(Y) l'espérance de Y car j'ai déjà utilisé la lettre E précédemment (pour une des matrices (vecteur colonne)). On a la relation suivante :


On fait cette somme à l'aide de Scilab par exemple en ajoutant les lignes au code source précédent :

Code: Tout sélectionner

NI = linspace(1,N,N)
E = 1/5.*E
ESP = sum(NI.*E)
printf("Valeur de l''espérance ESP(Y) = %0.3f",ESP)


Voici les valeurs numériques de P(Y = k) :

Code: Tout sélectionner

-->1/5.*E
 ans  =
 
 
         column  1 to 11
 
    0.    0.    0.    0.    0.0384    0.0768    0.09984    0.10752    0.1045094    0.0954778    0.0838164 
 
         column 12 to 20
 
    0.0716390    0.0601130    0.0497916    0.0408620    0.0333101    0.0270216    0.0218420    0.0176086    0.0141679 
 
         column 21 to 29
 
    0.0113830    0.0091357    0.0073261    0.0058714    0.0047034    0.0037665    0.0030155    0.0024138    0.0019318 
 
         column 30 to 38
 
    0.0015460    0.0012371    0.0009898    0.0007920    0.0006336    0.0005069    0.0004056    0.0003245    0.0002596 
 
         column 39 to 47
 
    0.0002077    0.0001661    0.0001329    0.0001063    0.0000851    0.0000681    0.0000544    0.0000436    0.0000348 
 
         column 48 to 56
 
    0.0000279    0.0000223    0.0000178    0.0000143    0.0000114    0.0000091    0.0000073    0.0000058    0.0000047 
 
         column 57 to 65
 
    0.0000037    0.0000030    0.0000024    0.0000019    0.0000015    0.0000012    0.0000010    0.0000008    0.0000006 
 
         column 66 to 74
 
    0.0000005    0.0000004    0.0000003    0.0000003    0.0000002    0.0000002    0.0000001    0.0000001    8.425D-08 
 
         column 75 to 83
 
    6.740D-08    5.392D-08    4.314D-08    3.451D-08    2.761D-08    2.209D-08    1.767D-08    1.413D-08    1.131D-08 
 
         column 84 to 92
 
    9.046D-09    7.237D-09    5.790D-09    4.632D-09    3.705D-09    2.964D-09    2.371D-09    1.897D-09    1.518D-09 
 
         column  93 to 100
 
    1.214D-09    9.713D-10    7.771D-10    6.217D-10    4.973D-10    3.979D-10    3.183D-10    2.546D-10 


On obtient 11,4 arrondi au dixième (et 11,417 à )

Si vous voulez des exemples concrets d'application pour le lycée, il y a ce très beau document de l'APMEP intitulé "Chaînes de Markov au Lycée". Je le trouve très bien fait.


Bonne journée à tous.
Nota : ce midi, je sais ce que je veux en dessert... des kiwis !

[Pseuda]

Bonjour MJoe.

Joli ! Bravo et merci pour avoir développé l'exercice jusqu'au bout. As-tu obtenu F(n) en fonction de n ?

[MJoe]

Bonjour @Pseuda,

Pour calculer F(n) en fonction de n, il faut déterminer la matrice de passage P qui est la matrice constituée des vecteurs propres associés aux différentes valeurs propres. Ensuite il faut l'inverser et effectuer le produit matriciel que j'ai indiqué sur la page N°1.
Ce n'est pas difficile mais c'est assez fastidieux. Les expressions sous la forme de suites numériques permettent de calculer pas à pas les différentes valeurs.

Bonne journée.

[Pseuda]

Oui je sais c'est long. Tu aurais pu aussi démarrer directement à l'étape B (l'étape A est certaine), ce qui revient au même avec une matrice 5x5. Dans tous les cas, il me semble (sans certitude) que pour ce type de matrice, les valeurs propres et les éléments diagonaux de la matrice diagonale associée sont les mêmes que celles de la matrice K. Mais reste à déterminer la matrice de passage qui vérifie K*P=P*D, mais c'est encore long.

Tout compte fait, l'histogramme des fréquences ne ressemble pas du tout à celle d'une loi binomiale / normale. En effet, il y a bien un maximum suivie d'une décroissance vers 0, mais dans le cas d'une loi normale, le point d'inflexion (lieu de l'écart-type) est en général (cela dépend de l'écart-type) beaucoup plus loin du maximum qu'il ne semble l'être ici, qui est visuellement juste après le maximum.

[MJoe]

Bonjour @Pseuda,

J'aime bien l'étape A car elle représente le point de départ où il y a 5 kiwis dans la corbeille de fruits. Si on part de B, il n'y a plus que 4 kiwis de type "O" (un tirage a déjà été effectué). Après c'est une histoire de convention, on peut partir de B en indiquant qu'un tirage a déjà eu lieu.

MJoe.

[Pseuda]

Merci pour le document de l'APMEP, où j'apprends ce clivage matrices-lignes / matrices colonnes. En effet, dans le cas des matrices stochastiques, les états probabilistes successifs sont représentés par des matrices-lignes dans l'enseignement supérieur (pour une raison qui m'échappe), et donc on reproduit ce modèle dans l'enseignement secondaire.

Bah on peut laisser l'étape A, elle ne gène pas.

[leon1789]

Bonjour

@leon1789, tu voulais dire le 28ème jour avec une probabilité de 0,9903347, soit 99,03347 %

Non, je voulais bien dire le 8ième jour : c'est le jour où la probabilité P de faire disparaître le dernier des kiwis d'origine est la plus importante : la probabilité du jour n>0 est P(X=n) = F(n)-F(n-1) puisque la fonction F que tu as calculée est la fonction de répartition F(n) = P( X <= n).

OK ?

[MJoe]

Bonjour @leon1789,

Il s'agit en effet de la fonction de répartition. Si tu veux calculer le nombre de jours tel que la probabilité d'avoir mangé les 5 kiwis soit supérieure à 99 %, cela s'écrit :
On cherche n telle que P(Y<=n) > 0,99
D'après le tableau de valeurs ci-dessous, c'est n = 28 qui convient (c'est-à-dire F(29)).
Valeurs de F(n) :

Code: Tout sélectionner

Valeur de ma matrice F :
 
         column  1 to 12
 
    0.    0.    0.    0.    0.    0.0384    0.1152    0.21504    0.32256    0.4270694    0.5225472    0.6063636
 
         column 13 to 21
 
    0.6780027    0.7381157    0.7879072    0.8287693    0.8620793    0.8891010    0.9109429    0.9285515    0.9427194
 
         column 22 to 30
 
    0.9541025    0.9632381    0.9705642    0.9764355    0.9811390    0.9849055    0.9879210    0.9903347    0.9922666
 
         column 31 to 39
 
    0.9938125    0.9950496    0.9960394    0.9968314    0.9974650    0.9979719    0.9983775    0.9987020    0.9989616
 
         column 40 to 48
 
    0.9991693    0.9993354    0.9994683    0.9995747    0.9996597    0.9997278    0.9997822    0.9998258    0.9998606
 
         column 49 to 57
 
    0.9998885    0.9999108    0.9999286    0.9999429    0.9999543    0.9999635    0.9999708    0.9999766    0.9999813
 
         column 58 to 66
 
    0.9999850    0.9999880    0.9999904    0.9999923    0.9999939    0.9999951    0.9999961    0.9999969    0.9999975
 
         column 67 to 75
 
    0.9999980    0.9999984    0.9999987    0.9999990    0.9999992    0.9999993    0.9999995    0.9999996    0.9999997
 
         column 76 to 84
 
    0.9999997    0.9999998    0.9999998    0.9999999    0.9999999    0.9999999    0.9999999    0.9999999    1.0000000
 
         column 85 to 93
 
    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000    1.0000000
 
         column  94 to 100
 
    1.    1.    1.    1.    1.    1.    1.


Oui, la probabilité du 8ème jour est la plus importante mais cela ne signifie pas que tous les kiwis auront disparus. En fait au bout du 8ème jour la probabilité que les 5 kiwis aient disparu est égale à 32,256 % (c'est F(9)).

MJoe.

[leon1789]

oui, je comprends bien ce que tu expliques.

Pour ,

la probabilité d'avoir mangé les 5 kiwis "O" au plus tard le n-ième jour est :


la probabilité de manger le 5ième kiwis "O" exactement le n-ième jour est :

[leon1789]

Un petit défi qui sait calculer la proba en 100 jours de manger tout les kiwis, avec au départ 10 kiwi ?

Vu la solution pour 5 kiwis, je conjecture que la fonction de masse pour 10 kiwi est




D'où

[Arbre]

Bonjour,

@Léon : Bravo : 0.9997343952
La réponse de MJoe avait rendu le défi sans intêret en effet on peut s'en sortir avec 10 états différents.

Mais maintenant le défi le retour, répondre à la question avec un cageaux de 100 kiwis et au bout de 400 jours.

Cordialement.

[leon1789]

100 kiwis, 400 jours, si je conjecture bien encore une fois, ça donne P(X<=400) = .1523...

[Arbre]

Non, je ne trouve pas cela, je trouve un peu plus de 50%.

[Arbre]

Là cela devient trop bizarre, j'avais fait le calcul, je trouvais plus de 50% maintenant je trouve ce que tu annonces, c'est trop bizarre ? ? ?

PS : Avec un logiciel de calcul formel, sans avoir changé le programme.

[leon1789]

Autre chose étonnante : j'ai l'impression que,
quel que soit n le nombre de kiwis initiaux, la fonction de masse P(X=n) est toujours une combinaison des exponentielles ( i /n )^(n-1) avec des coefficients ... entiers !

[MJoe]

Énigme de @Arbre :
Quelle est la probabilité de manger tous les kiwis en 400 jours, avec au départ 100 kiwis ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------

Bonjour à tous,

Je trouve P(Y = 400) = 0,152

Pour ceux que cela intéresse, voici le code source Scilab :

Code: Tout sélectionner

N = 100000
P = zeros(1,N)
for i = 1:N
    K = ones(1,100)
    p = 0
    while p <> 400
        p = p + 1
        j = int(100*rand() + 1)
        if K(1,j) == 1 then
            K(1,j) = 0
        end
    end
    if sum(K) == 0 then
        P(1,i) = 1
    end
 
end
q = sum(P)/N
printf("Probabilité P(Y = 400)= %0.3f",q)


Probabilité P(Y = 400) = 0,152

MJoe.

[Arbre]

@MJoe : pas mal, mais comment je fais si je veux une précision de 20 chiffres (digits)
.152305....

[MJoe]

Là il faut faire appel au calcul formel mais je ne sais pas faire !!
MJoe.