Probabilité - Jeu de dés ouverts

[Quindar]

Bonjour à tous !

Je suis en train de créer les règles d'un jeu de rôle et j'éprouve des difficultés à calculer les probabilités de réussites des jets de dés (afin d'adapter le niveau de difficulté). J'ai besoin de trouver une formule littéraire pour calculer ces probabilités.

Voici l'énoncé du problème:

-Quand je lance un dé à six face, j'obtiens une réussite sur un résultat de 3 à 6 (le 1 et le 2 donnant donc un échec). Les échecs ne sont jamais pris en compte.
-Quand j'obtiens un 6, j'ai le droit de relancer le dé. Si j'obtiens 3, 4, 5 ou 6 sur le dé relancé, j'ai donc cumulé deux réussites. Si j'obtiens un 6 sur le dé relancé, je ne relance pas le dé à nouveau (le système n'est donc pas totalement ouvert).
-En fonction du niveau de mon personnage, j'ai le droit de lancer 1 à 7 dés pour une épreuve.
-En fonction de la difficulté de l'épreuve, je dois obtenir 1 à 7 réussites pour la braver.

Je dois calculer quelles sont les chances d'un personnage, en pourcentage, de braver des épreuves (allant d'une difficulté de 1 à 7) en fonction de son niveau (allant lui aussi de 1 à 7). Il me faut remplir le tableau suivant:

Chance de réussir une épreuve:
Difficulté: 1 2 3 4 5 6 7
Niveau:
1
2
3
4
5
6
7

Grâce au système de relance semi-ouvert, un personnage de niveau 1 peut braver une épreuve de difficulté 1 ou 2. Un personnage de niveau 2 peut braver une épreuve de difficulté 1, 2, 3 ou 4. Etc...

J'ai demandé tout autour de moi et personne n'a su m'aider. J'espère que l'un de vous aura une réponse à mon problème !

Merci beaucoup.

[fatal_error]

hello,

tu as pour un dé
P(réussite = 0) = 2/6
P(réussite = 1) = P(avoir 3 ou 4 ou 5 et avoir 1 ou deux au second lancer)
P(réussite = 2) = P(avoir 6 et avoir 3 ou 4 ou 5 ou 6 au second lancer)

P(avoir 3 ou 4 ou 5) = 3/6 = 1/2
P(avoir 3 ou 4 ou 5 ou 6) = 4/6 = 2/3
P(avoir 6 et avoir 1 ou deux au second lancer) = P(avoir 6)*P(avoir 1 ou deux) = 1/6 * 2/6 = 1/18
P(avoir 6 et avoir 3 ou 4 ou 5 ou 6 au second lancer) = P(avoir 6)*(P avoir 3 ou 4 ou 5 ou 6)= 1/6*2/3=1/9
Donc:

P(réussite = 0) = g0 = 1/3
P(réussite = 1) = g1 = 1/2 + 1/18 = 5/9
P(réussite = 2) = g2 = 1/9

Ensuite au niveau k, tu as k essais.
Un essai retourne (0, 1, ou 2) et leur proba associée est (1/3, 5/9, 1/9) respectivement.

Tu veux donc décomposer k en somme de k nombres qui valent 0, 1 ou 2.
Soit S(k) la somme de ces nombres.

P_k(success) = 1-P_k(fail)
et fail est vrai si S(k) < k
et success représente l'evènement: accéder au niveau supérieur

Idem, tu cherches à dénombrer le nombre de fails que tu peux avoir.

k==1
fail = {(0)}
P(fail) = g0 = 1/3
et P(success)=2/3

k==2
fail = {(0,0), (1,0),(0,1)}
P(fail) = g0*g0 + 2*g1*g0

k==3
P(fail) = {(0,0,0), 3(0,0,1), 3(1,1,0), 3(0,0,2)}
3(...) représente le fait que ya trois possibilités.

Donc déjà tu peux calculer numériquement assez facilement.

Maintenant, si tu veux une formule litérale en fonction de k,
ton but c'est d'arriver à décomposer n en somme de k termes.
soit D(n,i) qui retourne un vecteur ligne [a,b,c] d'entiers correspondant
au nombres de 0, 1 et 2 respectifs satisfaisant a+b+c = i et 0*a+1*b+2*c=n

on obtient alors

où permute compte le nombre de mains de meme nombre de 0,1,et 2 mais pas placés au meme endroit.

Calcul de permute(D(k,i)==[a,b,c])
//on pioche a 0 parmi nos i termes, puis b 1 parmis les termes restants et les 2 ont plus le choix
return C(a, i)*C(b, i-a)

Au final l'objectif est de calculer les D(k,i)...mais à la main je vois pas et j'y enquillerai plutot un algo pour la machine

[nodjim]

Pour compléter ce qu'a dit Fatal Error:
Tu as par exemple droit à 3 lancers.
Les combis possibles sont les suivantes:
000 1 fois qui donne 0 réussite
001 3 fois qui donne 1 réussite
011 3 fois qui donne 2 réussites
002 3 fois qui donne 2 réussites
021 6 fois qui donne 3 réussites
111 1 fois qui donne 3 réussites
112 3 fois qui donne 4 réussites
022 3 fois qui donne 4 réussites
221 3 fois qui donne 5 réussites
222 1 fois qui donne 6 réussites

Sachant que P(0)=1/3 P(1)=5/9 et P(2)=1/9, tu peux calculer la proba de chaque ligne (tu multiplies les probas).
Les chances d'avoir au moins 3 réussites sont le cumul des lignes de 3 à 6 réussites.
Si tu es informaticien, algo. Sinon, avec un tableur ça doit pas être trop long.
Même pour 7 dés à lancer.

[Quindar]

Wow, rapide et efficace !

Merci beaucoup, je sais à quoi je vais passer mes prochaines heures ! Y'a plus qu'à remplir le tableau !

Merci encore.