Presque commutatif

par **Archytas** » 17 Jan 2018, 23:33

Bonsoir,
Petit défi pour les amateurs :
Soit

un groupe et

un sous-groupe d'indice fini

de

. Montrer que si

alors

. (où

désigne le centre de

)

par **Ben314** » 18 Jan 2018, 11:32

Salut,
On vérifie facilement que

est un sous groupe de

dans lequel

est distingué.
De plus l'indice

de

dans

est le produit de l'indice

de

dans

par l'indice de

dans

donc

divise

.
Celà signifie que tout élément

du groupe quotient

(de cardinal

) vérifie

ce qui prouve le résultat vu que

.

par **Archytas** » 18 Jan 2018, 21:01

Bien joué. Une autre méthode consiste à prendre

le sous groupe de

engendré par

et constater que

agit librement sur

et d'appliquer la formule des classes mais ta solution fonctionne aussi

.