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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Archytas
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par Archytas » 18 Jan 2018, 01:33
Bonsoir,
Petit défi pour les amateurs :
Soit
un groupe et
un sous-groupe d'indice fini
de
. Montrer que si
alors
. (où
désigne le centre de
)
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Ben314
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par Ben314 » 18 Jan 2018, 13:32
Salut,
On vérifie facilement que
est un sous groupe de
dans lequel
est distingué.
De plus l'indice
de
dans
est le produit de l'indice
de
dans
par l'indice de
dans
donc
divise
.
Celà signifie que tout élément
du groupe quotient
(de cardinal
) vérifie
ce qui prouve le résultat vu que
.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Archytas
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par Archytas » 18 Jan 2018, 23:01
Bien joué. Une autre méthode consiste à prendre
le sous groupe de
engendré par
et constater que
agit librement sur
et d'appliquer la formule des classes mais ta solution fonctionne aussi
.
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