Presque commutatif

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Archytas
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Presque commutatif

par Archytas » 18 Jan 2018, 01:33

Bonsoir,
Petit défi pour les amateurs :
Soit un groupe et un sous-groupe d'indice fini de . Montrer que si alors . (où désigne le centre de )



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Ben314
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Re: Presque commutatif

par Ben314 » 18 Jan 2018, 13:32

Salut,
On vérifie facilement que est un sous groupe de dans lequel est distingué.
De plus l'indice de dans est le produit de l'indice de dans par l'indice de dans donc divise .
Celà signifie que tout élément du groupe quotient (de cardinal ) vérifie ce qui prouve le résultat vu que .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Archytas
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Re: Presque commutatif

par Archytas » 18 Jan 2018, 23:01

Bien joué. Une autre méthode consiste à prendre le sous groupe de engendré par et constater que agit librement sur et d'appliquer la formule des classes mais ta solution fonctionne aussi :).

 

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