Premier test marocain 2011

[Olympus]

Salut !

Je n'ai pas participé ( j'ai déjà abandonné les IMO pour diverses raisons ), mais je tiens quand même à partager le sujet d'hier qu'ont eu les Terminales SM, qui est relativement facile à mes yeux ( sur 4 exos : 3 exos d'inégalités :zen: )

Exercice 1:

Soient et deux réels strictement positifs tels que .

Montrer que :

Exercice 2: ( Hellenic MC )

Résoudre dans le système suivant :



Exercice 3: ( Dutch MC )

Déterminer toutes les fonctions vérifiant la relation :



( dans la feuille ils ont mis une petite définition de la notion de "maximum", et vu qu'elle est évidente et que j'ai la flemme, j'évite de l'écrire :zen: )

Exercice 4: ( Ukrainian MC )

Soit ABC un triangle . La bissectrice intérieure de l'angle coupe [BC] en L et le cercle (C) circonscrit au triangle ABC en D .

La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe [AC] en M et le cercle (C) en K . Trouver la valeur de sachant que .


Perso, même si j'ai pas participé hier, je l'ai faite ce matin pour voir et les 3 premiers exercices me semblement très faciles quand même : le premier, je ne le raterai jamais :zen: , le deuxième est un exercice d'inégalités camouflé sous forme d'un système à résoudre, le troisième a un petit peu le même principe que le 2, à savoir, montrer qu'une quantité positive est inférieure ou égale à 0 pour en déduire qu'elle est nulle . Le 4ème, je n'y ai pas encore réfléchi, mais je ne pense pas que j'aboutirai à quelque chose vu mon niveau en géométrie ... :ptdr:

[Dinozzo13]

Salut !

J'aurai une question : comment fais-tu pour résoudre un système où il y a plus d'inconnues que d'équations ?

[Olympus]

Salut !

J'aurai une question : comment fais-tu pour résoudre un système où il y a plus d'inconnues que d'équations ?

Salut Dino !

Par inégalités :zen: En fait, le truc du "on ne peut résoudre un système que si le nombre d'équations est au moins égal au nombre d'inconnus" n'est pas du tout vrai . Il suffit d'avoir un nombre suffisant de conditions qui, au lieu d'être des équations, peuvent aussi être des inégalités .

Par AM-GM




Donc

De la même manière :




Mais, on a aussi

Donc



Donc notre système devient :






.

Et vu que , on a immédiatement

Réciproquement, vérifient bien le système .

[Ben314]

Salut,
Bon, évidement, perso, c'est plutôt la géométrie qui m'interesse mais :

Soit ABC un triangle . La bissectrice intérieure de l'angle coupe [BC] en C ??? (il faut lire "en L" je suppose ?) et le cercle (C) circonscrit au triangle ABC en D .

La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe [AC] en M et le cercle (C) en K . Trouver la valeur de sachant que .

[Olympus]

Salut !

Oui désolé c'est L à la place du C, je corrige .

EDIT : voilà c'est corrigé .

[Dinozzo13]

Salut, me revoilà !

Tu parles de AM-GM, mais qu'est-ce donc ?

Edit : Je reste bouche bée devant ce truc que je suis totalement incapable de résoudre :we:

[Olympus]

Salut, me revoilà !

Tu parles de AM-GM, mais qu'est-ce donc ?

Salut !

C'est l'inégalité artihmético-géométrique :



Ici j'ai utilisé le cas particulier n=4, qui se prouve facilement en remarquant que .
:lol3:

EDIT : corrigé une petite faute de frappe .

[Dinozzo13]

Eh donc pour résoudre ce genre de système, il est supposé qu'on connaisse cette inéglité ?

Est-elle indispensable ?

[Olympus]

Eh donc pour résoudre ce genre de système, il est supposé qu'on connaisse cette inéglité ?

Est-elle indispensable ?

Indispensable pour tout candidat aux olympiades, oui en quelque sorte . M'enfin, on peut dans tous les cas s'en sortir juste avec l'inégalité de base , voire même sans aucun théorème ^^

Pour exemple, voici comment j'ai résolu le premier exercice sans aucun outil hors-programme :

Un petit lemme que j'ai construit pour cette inégalité :

Lemme :



Démonstration :

L'inégalité est équivalente à

Or

Application :

On applique le lemme comme suit ( remarquer que, selon notre condition, on a ) :



:lol3:

[benekire2]

Salut !

Effectivement le premier quand tu sais que ( enfin que tu le vois facilement avec "l'entrainement" ) que x²+y²>2xy ça roule et que a+1/a >2 .

Le deuxième, j'ai essayé, mais comme j'ai jamais fait aucun exo du style et ba j'arrivais a rien ... Quand au troisième comment procéderiez vous ??

Merci ,

[Olympus]

Salut Mick' !

Le troisième n'est qu'une application de la définition d'un maximum :




.

D'autre part, quand on dit maximum, on parle aussi d'existence d'un point pour lequel il est atteint :

.

Or .





Ainsi, on a . Réciproquement, cette fonction vérifie l'énoncé .

[benekire2]

Bah effectivement, c'était pas très dur , j'ai pas dû cherché bien longtemps :ptdr:

Sinon, pour la géométrie je réfléchis ... quelqu'un d'autre réfléchis avec moi ?

Je comprends par ailleurs pourquoi tant d'acharnement sur les inégalités :id:

[Olympus]

Sinon, pour la géométrie je réfléchis ... quelqu'un d'autre réfléchis avec moi ?

Je l'ai regardé 5 minutes puis laissé tomber, la géométrie c'est pas ( encore ) mon truc :briques:

[Ben314]

Sinon, pour la géométrie je réfléchis ... quelqu'un d'autre réfléchis avec moi ?

J'ai un peu regardé, mais ça parrait pas trés drôle.
Sait tu où est (en général) situé le point d'intersection d'une bissectrice d'un triangle avec le coté opposé (ça semble plus qu'utile ici) ?

[benekire2]

J'ai un peu regardé, mais ça parrait pas trés drôle.
Sait tu où est (en général) situé le point d'intersection d'une bissectrice d'un triangle avec le coté opposé (ça semble plus qu'utile ici) ?

Il est le point barycentre des sommet affectés des longueurs de "bouts de segments" comme coefficients. Mais en vrai j'en sais pas trop grand chose.

Il me semble ( mais j'en suis pas du tout sur) que le triangle en question est isocèle ,

[Ben314]

On sait que dans tout triangle , la bissectrice intérieure issue de coupe le segment en où et donc, ici, l'hypothèse signifie en fait que ce qui incite à introduire le millieu de [AC].
Le triangle est isocèle en donc la bissectrice est la médiatrice de .
On a (cocyclicité) donc le triangle est isocèle en ce qui signifie que est sur la médiatrice de .
Comme est à la fois sur la médiatrice de et sur celle de , c'est que c'est le centre du cercle circonscrit au triangle et cela signifie qu'il est aussi sur la médiatrice de , c'est à dire que le projeté orthogonal de sur est en fait le milieu de .
On en déduit que

[benekire2]

Hé, bien joué ! Très simple quand on lit , très élégant !! :zen:

[benekire2]

Salut Dino !

Par inégalités :zen: En fait, le truc du "on ne peut résoudre un système que si le nombre d'équations est au moins égal au nombre d'inconnus" n'est pas du tout vrai . Il suffit d'avoir un nombre suffisant de conditions qui, au lieu d'être des équations, peuvent aussi être des inégalités .

Par AM-GM




Donc

De la même manière :




Mais, on a aussi

Donc



Donc notre système devient :






.

Et vu que , on a immédiatement

Réciproquement, vérifient bien le système .

Salut olympus!
je viens de regarder ta methode et le seul truc qui ne me parrait pas trop naturel c est a la fin quand tu multiplie les deux membres pour obtenir assez facilement tes sommes de carres. Peut tu m expliquer d ou vient l idee stp?

[Olympus]

Salut Mick !

Bon j'ai juste remarqué que ( ça se prouve facilement par AM-GM d'ordre 2 ), donc je me suis dit que je vais séparer ces termes positifs comme ça : .

Et comme par hasard, la somme de ces -2 couvre bien le -12, on procédera donc immédiatement à une réécriture sous forme de somme de carrés pour avoir une somme nulle de termes positifs et pouvoir conclure rigoureusement . ( Alors que perso, faire comme certains qui s'étaient contentés de dire aux olympiades nationales que c'est juste le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz sans le prouver, c'est plus que douteux )

EDIT : ah, et si tu veux savoir ce qui m'a poussé à multiplier les deux, c'est juste que j'ai immédiatement reconnu un cas particulier de Cauchy-Schwarz ( mais bien sûr, comme toujours, je fais semblant que ça me vient de nulle part :zen: ) .

[benekire2]

Salut Bouazza !!

Oui voilà , c'est ton édit qui m'intéresse, le reste je suis grand , j'avais compris , et d'ailleurs je m'en sort pareil pour le cas avec trois variables ( oui j'ai d'abord fais l'exo avec 3 variables :triste: puis j'ai généraliser [with your method] et je crois que ça marche :++: ) mais en effet je remarque ta tendence a maquiller tes crimes :zen:

Merci beaucoup ,