Premier = somme de 2 carrés

par **windows7** » 02 Juil 2010, 11:12

salut

trouvez tout les premiers s'ecrivant comme la somme de 2 carrés d'entier.

par **nodjim** » 02 Juil 2010, 11:39

Il n'y en a pas une infinité ?

par **Doraki** » 02 Juil 2010, 11:44

Si mais ils ont une caractérisation très très simple.

par **ffpower** » 02 Juil 2010, 11:50

Sauf que bon, si on l'a jamais vu, on peut pas l'inventer ce truc là. Au mieux on peut conjecturer le résultat, mais le prouver ça m'étonnerait, la preuve étant assez astucieuse..

par **Ben314** » 02 Juil 2010, 11:51

Comme je connais les éléments irréductibles de anneau euclidien Z[i], je "passe mon tour"...
Mais, on peut effectivement trouver la réponse avec pour seul bagage quelques connaissances sur les congruences...

Mais, effectivement, sans aucune "indic", c'est pas super facile.
J'en met une (en blanc) :
Montrer à l'aide du petit théorème de Fermat que pour p>2, un entier a est un carré modulo p (i.e. qu'il existe x tel que x²=a mod p) ssi a^((p-1)/2)=1 mod p et en déduire quels sont les p tels que -1 est un carré modulo p...

par **windows7** » 02 Juil 2010, 11:55

oui enfait c'est plutot pour les lycéen ..

par **benekire2** » 02 Juil 2010, 12:19

Le théorème c'est p (premier) est somme de deux carré ssi p=1[4]

La démonstration que j'en ai lue est un DM pour des MPSI, elle est assez semblable aux indications de Ben, mais j'avoue que si on ne la connait pas, on peut pas trop l'inventer ( du moins pas moi ... )

par **benekire2** » 02 Juil 2010, 12:23

En revanche l'implication directe p premier somme de 2 carré => p=1[4] est évidente. C'est la réciproque qui fait très très mal :id:

par **Nightmare** » 02 Juil 2010, 12:23

Et si p n'est pas nécessaire premier?

par **benekire2** » 02 Juil 2010, 12:37

Je crois qu'il est plus difficile , je ne connais pas la démonstration, juste que les facteurs de la forme 4m+3 doivent avoir un exposant pair.

En relisant l'énoncé, je crois que la réciproque n'est pas explicitement demandée , quoi que c'est bizarre ... cela dit c'est la réciproque qui est intéressante :zen:

par **windows7** » 02 Juil 2010, 12:38

tu peux preciser ta question nightmare ?

c'est enfait tiré d'un sujet du concours general, or il y a une bonne dizaine de questions pour arriver au resultat. Volontairement je les ai omnis afin de laisser carte blanche a l'immagination ;)

par **benekire2** » 02 Juil 2010, 12:45

sujet de quelle année ?

Ps: Le CG c'est déjà pas simple alors éluder les question .... :doh:

par **Nightmare** » 02 Juil 2010, 13:15

windows7 a écrit:tu peux preciser ta question nightmare ?

c'est enfait tiré d'un sujet du concours general, or il y a une bonne dizaine de questions pour arriver au resultat. Volontairement je les ai omnis afin de laisser carte blanche a l'immagination

Je demandais juste de donner une CNS pour que n quelconque (pas nécessaire premier) soit somme de 2 carrés.

La caractérisation de Bene n'est pas bonne, c'est plutôt que tout facteur premier (différent de 2) d'exposant impair dans la décomposition de n doit être égal à 1 modulo 4.

par **ffpower** » 02 Juil 2010, 13:36

"les facteurs d'exposants impairs doivent etre congru a 1 mod 4" et "les facteurs congrus à 3 mod 4 doivent etre d'exposant pair", c'est pas la même chose? :zen:

par **windows7** » 02 Juil 2010, 14:18

benekire2 a écrit:sujet de quelle année ?

Ps: Le CG c'est déjà pas simple alors éluder les question .... :doh:

je ne sais plus trop mais c'est soit 2003 soit 2004 soit 2005

Premier = somme de 2 carrés

premier = somme de 2 carrés

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