Premier donc irréductible

[Imod]

Finissons quand même la démo pour une base :

Supposons que alors premier donc par exemple , on a avec . Soit une racine de alors est une racine de donc d'après le lemme :



Alors , contradiction .

Reste le cas :zen:

Imod

[leon1789]

En tout cas, c'est une bonne source pour fabriquer un tas de polynômes irréductibles sur Z[X] et Q[X]. :++:

[Jean-Jack]

Pour le cas b=2, j'ai montré que pour tout zéro x de P(x), on avait
abs(2-x) > abs(1-x) mais c'est assez long, il doit y avoir plus simple.

[ffpower]

Ah oui,c est pas bete du tout ca.Moi aussi,j'ai obtenu le cas b>2 a peu pres de la meme maniere qu'imod,puis j ai abandonné le cas b=2 qui avait l air trop dur,mais ton idee est interessante.Si on montre |1-x|<|2-x| pour x racine de Q,ca entraine |Q(1)|<|Q(2)|=1,donc Q(1)=0,1 serait alors racine de P ce qui n est pas possible.Reste donc a montrer cette inégalité,qui est equivalante a Re(x)<3/2,ce qui a quand meme l air plus facile a prouver que Re(x)<1...Je vais y réfléchir de ce pas(enfin apres "les randonneurs", sur la 1 :ptdr: )

[leon1789]

(...) plus facile a prouver que Re(x)<1...

Re(x)<1 est une fausse piste.

[leon1789]

Ah oui,c est pas bete du tout ca.Moi aussi,j'ai obtenu le cas b>2 a peu pres de la meme maniere qu'imod,

En reprenant les deux parties de la démo d'Imod (mais sans absurde oeuf corse :zen: ) :

1) Lorsque (*) et (**) :
on a
Pour tout indice , donc .
Avec (*), on obtient
D'où .
Avec (**), on arrive à .

2) Dans les autres cas, ou , on a clairement pour .

puis j ai abandonné le cas b=2 qui avait l air trop dur,mais ton idee est interessante.Si on montre |1-x|<|2-x| pour x racine de Q,ca entraine |Q(1)|<|Q(2)|=1,donc Q(1)=0,1 serait alors racine de P ce qui n est pas possible.Reste donc a montrer cette inégalité,qui est equivalante a Re(x)<3/2,ce qui a quand meme l air plus facile a prouver que Re(x)<1...

Re(x)<1 est une fausse piste.

Je vais y réfléchir de ce pas(enfin apres "les randonneurs", sur la 1 :ptdr: )

ah tiens, toi aussi...

[Imod]

En reprenant les deux parties de la démo d'Imod (mais sans absurde oeuf corse :zen: ) ...

Je viens d'envoyer une série de message qui utilisent tous l'absurde , je crois que je suis un indécrottable fan , Sorry :we:

Imod

[ffpower]

C est bon, j ai obtenu la majoration désirée.On peut probablement simplifier,je laisse ce soin a ce qui le désirent,ainsi que le soin de virer les "absurde"(nan nan,je ne vise personne^^).Excepté dans le cas trivial ou ,je peux ecrire

avec n>m et . Supposons que P ait une racine vérifiant . Alors :

En simplifiant par et en utilisant la minoration , ca donne,en notant

Maintenant:
-Si :
pas possible
-Si
pas possible
-Si
pas possible
On a donc montré ce qui equivaut a (ca se voit en élevant au carré,ou bien graphiquement),d ou on en déduit comme je l ai dit dans mon précédent post que si P=QR, avec par exemple |Q(2)|=1,alors si Q est non trivial 0<|Q(1)|<|Q(2)|=1 ce qui n est pas possible..

[ffpower]

Je viens d'envoyer une série de message qui utilisent tous l'absurde , je crois que je suis un indécrottable fan , Sorry :we:

Imod

Je copie colle ce message lol..

[leon1789]

Encore bien joué pour cette preuve pour b=2.

Je viens d'envoyer une série de messages qui utilisent tous l'absurde , je crois que je suis un indécrottable fan , Sorry :we:
Imod

Je copie colle ce message lol..

:ptdr: Toute une éducation à reprendre ... et y a du boulot ! :marteau:

Grâce à la preuve (par l'absurde) de ffpower, je peux maintenant mettre ma "stratégie" en action pour voir les choses "vraies" dans sa preuve contradictoire de .

Quelle que soit la racine de P, on a bien . Grâce à ses bonnes astuces

pour

on juxtapose ces inégalités et on tombe sur le résultat plus précis (sans raisonner par l'absurde, et pour cause...).

Maintenant que ce résultat est énoncé, vous pouvez le faire par l'absurde aussi. :id:

[leon1789]

Encore bien joué pour cette preuve pour b=2.

Je viens d'envoyer une série de messages qui utilisent tous l'absurde , je crois que je suis un indécrottable fan , Sorry :we:
Imod

Je copie colle ce message lol..

:ptdr: Toute une éducation à reprendre ... et y a du boulot ! :marteau:

Grâce à la preuve (par l'absurde) de ffpower, je peux maintenant mettre ma "stratégie" en action pour voir les choses "vraies" dans sa preuve "contradictoire" de .

Quelle que soit la racine de P, on a bien . Grâce à ses bonnes astuces (valides pour tout complexe comme l'a démontré ffpower)

pour

on juxtapose ces inégalités et on tombe sur le résultat plus précis sans raisonner par l'absurde cette fois, et pour cause.
(EDIT mince, je croyais obtenir , confusion entre min et max...)

Maintenant que ce résultat est énoncé, vous pouvez le faire par l'absurde aussi. :id:

Voyez vous le phénomène entre une "première passe" par l'absurde puis une "tentative finale" de preuve directe ?
Le plus difficile à réaliser là-dedans, c'est la "première passe" par l'absurde, c'est certain ! Mais pourquoi se priver d'un dernier petit effort de généralisation ou de précision via une "tentative finale" de preuve directe ?
Bien sûr, il faut penser à ça dans un contexte plus général que cet exercice.

[ffpower]

au passage,en utilisant exactement le meme raisonnement, on voit que si et sont les développement en base b de 2 entiers premiers entre eux,alors les polynomes correspondant sont premiers entre eux.
Sinon,c est vrai que le résultat est amusant,comme dit leon,ca permet de creer facilement des polys irreductibles...Allez au hasard, prenons 67=2^6+2+1,on obtient donc que X^6+X+1 est irréductible,c est a priori pas évident :we: (et on peut en faire beaucoup comme ca^^)

[Imod]

Joli démo ffpower :++:

Je trouvais déjà le résultat impressionnant en base 10 mais pour toutes les bases ça fait quand même un outil curieux pour créer des polynômes irréductibles sur :doh:

Imod

[egan]

Cette propriété est super interressante. J'ai rien compris à la démonstration mais c'est très interressant.
Est-ce que cette démonstation est abordable après la terminale (avec spé math, comme ça a l'air d'être un peu d'arithmétique, sait-on jamais) ?

[ffpower]

La démonstration est niveau terminale hormis un fait,qui est le théoreme fondamental d algebre polynomiale:tout polynome à coefficients complexes peut se décomposer sous la forme , étant le coefficient dominant de ,et les étant les racines de .Tout le reste,c est niveau terminale.Le seul probleme,c'est que notre maniere lacunaire de rédiger n'est pas faite pour qu'on soit lu par des terminales. Mais si tu es suffisament familier avec la notion de polynome et que tu est pret a admettre le théoreme ci dessus, je peux si tu veux réécrire la demo de maniere plus détaillée(disons en base 10)

[egan]

Qu'est-ce qu'un coefficient dominant ?
Si P(X)=a(n)X^n+a(n-1)X^(n-1)+...+a(1)X+a(0), le coefficient dominant est a(n), c'est ça ?

Dans le théorème que tu as cité, le polynôme est d'ordre n, mais dans sa décomposition sous forme de produit, on admet qu'il possède n racines non ?
Qu'en serait-il s'il n'avait pas n racines ? A moins que les racines soient ici complexes et q'un polynôme d'ordre n et a coefficient complexes admettent forcément n racines complexes.

Une autre petit question, on dit qu'un polynôme est réductible dans un ensemble K, si il admet au moins une racine appartenant à K, et que de ce fait on peut le factoriser, c'est ça ?

Si ça ne te dérange pas, je veux bien que tu m'expliques la démonstration. ^^
Un grand merci pour ta patience et pour la proposition.

[ffpower]

Ok je m'occuperai plus tard de réécrire la démo.En attendant pour répondre a tes questions:

-Le coefficient dominant d'un polynome,c'est bien ce que tu as dit,le a(n)...

-Oui, les racines sont les racines complexes,j ai effectivement oublier de préciser ce détail important.Et en gros le théoreme que j ai anoncé est a peu pres equivalant a celui ci:Tout polynome a coefficients complexes a au moins une racine complexe,excepté les polynomes constants.En effet, en admettant ceci,si on part d'un polynome complexe P non constant, il a donc au moins une racine complexe que j appelle .Puisque est racine,P se factorise par ,donc ou Q est un nouveau polynome de degré plus petit que P.On dit maintenant que Q a au moins une racine complexe ,et se factorise donc par ,d ou on en deduit ,ou R est un nouveau polynome de degré encore plus petit.On poursuit ainsi la factorisation jusqu a obtenir un polynome constant,c'est a dire ,avec S constant,cette constante étant forcément le coefficient dominant de P.On obtient ainsi la preuve du théoreme de factorisation que j'ai énoncé plus haut.

-Un polynome P a coefficients dans Z est dit irréductible sur Z si on ne peut pas écrire P=QR,avec Q,R a coefficients dans Z,différents de -1 et 1.C est en gros l'équivalant des nombres premiers pour les polynomes. En particulier,si P a une racine a dans Z, on peut factoriser P par X-a et on en déduit que P est reductible,mais l inverse n est pas vrai:par exemple P(X)=(X²+1)(X²+2) n'a pas de racines dans Z,mais est reductible puisque produit des polynomes X²+1 et X²+2.

[egan]

Merci pour tes explications.

Tout polynome a coefficients complexes a au moins une racine complexe,excepté les polynomes constants.

Ce se démontre ça ?

[egan]

-Un polynome P a coefficients dans Z est dit irréductible sur Z si on ne peut pas écrire P=QR,avec Q,R a coefficients dans Z,différents de -1 et 1.C est en gros l'équivalant des nombres premiers pour les polynomes. En particulier,si P a une racine a dans Z, on peut factoriser P par X-a et on en déduit que P est reductible,mais l inverse n est pas vrai:par exemple P(X)=(X²+1)(X²+2) n'a pas de racines dans Z,mais est reductible puisque produit des polynomes X²+1 et X²+2.

Donc un polynôme est irrécutible dans un ensemble E si et seulement si on ne peut pas écrire P=QR, Q et R à coefficients dans E.
C'est bien une équivalence ?

Je ne comprends pas pourquoi dans ton cas, les coefficients de Q et R doivent être différents de -1 et 1.

Est-ce que P(x)=2x²+2=2(x²+1) est réductible ?

[Maks]

Ce se démontre ça ?

Oui, et ça s'appelle le théorème de d'Alembert-Gauss.