Précision d'une estimation par moindres carrés

[didman]

Soit Xr une valeur inconnue.

Soient Xi des mesures erronées de Xr, obtenues avec un instrument introduisant une erreur E (normale centrée réduite).

En d'autres termes, Xi = Xr + ei, où les ei sont des occurences indépendantes de la variable aléatoire E.

En estimant Xr par moindres carrés, j'obtient une valeur Xm.
Xm est la valeur de X qui minimise Somme(i=1,..,N)[(X-Xi)^2].

Quelle est alors la précision de mon estimation Xm, en fonction du nombre de mesures N dont je dispose ?

Intuitivement : Si je ne dispose que d'une mesure X1, j'aurais Xm=X1 et j'ai peu de chance d'être très proche de ma valeur Xr. Si par contre je dispose d'un très grand nombre de mesures (N grand), Xm est probablement très proche de Xr.

Quelle loi statistique me donne la densité de probabilité de la variable Xr autour de Xm ? Comment connaitre la précision à laquelle je peux m'attendre pour mon estimation Xm ?

Merci de votre aide.

[Anonyme]

Bonjour,

La solution de votre problème de moindres carrés est en fait la moyenne empirique (X1+...Xn)/n. Sous l'hypothèse que vos erreurs ei sont centrées et de variance s², l'estimateur est alors sans biais et de variance s²/n.