Pour quel n est n⁴+n³+n²+n+1 un carré parfait ?

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Deuxieme cas: k+1 n'est pas une puissance de 2

J'écris avec q impair supérieur à 3. Alors j'utilise la factorisation où et . Pour fixé, soit le pgcd de et . Alors modulo on a donc et donc
, donc divise . D'autre part on vérifie que est toujours impair: c'est trivial si n est pair, et si n impair on a modulo 2: car q impair. On conclut donc que . Ainsi si est un carré alors (et aussi), mais puisque est pair, par le premier cas il n'y a qu'un nombre fini de n tel que est un carré.

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Troisieme cas: est une puissance de 2
Ecrivons . Je suppose (le cas p=2 correspondant au cas k=3). Alors on a la factorisation . Le pgcd entre deux différents termes du produit est toujours ou à cause du fait que si alors divise . Donc:
si est pair tous les termes sont premiers entre eux et donc si est un carré, tous les termes sont aussi des carrés: en particulier est un carré, ce qui est compliqué...
si n est impair,alors tous les termes du produit sont pairs, et à part peut être le premier terme tous les termes sont congrus à 2 mod 4. On déduit donc que si est un carré alors tous les termes à part peut être le premier sont de la forme . C'est en particulier le cas pour et , donc est un carré, et donc en posant , est un carré. On peut donc déduire ce cas du cas