Polynomes sur un anneau

[jeancam]

soit P un polynome sur un anneau. si il existe P tel que PQ=0
alors il existe un scalaire a tel que aQ=0.
meme question à deux variables.

[leon1789]

soit P un polynome sur un anneau. si il existe P tel que PQ=0
alors il existe un scalaire a tel que aQ=0.

oui

meme question à deux variables.

je ne sais pas

[Doraki]

Pour 2 variables il faut dire que K[X,Y] c'est K[X][Y].
On écrit Q = somme des Qi.Y^i.

Si PQ = 0 alors on trouve donc un polynome R de K[X] tel que R.Q=0.
Ce qui veut dire que pour tout i, R.Qi = 0 dans K[X].
Donc on recommence et on trouve un scalaire ai dans K tel que ai.Qi = 0.

Pour remonter à Q on prend sauvagement a = le produit des ai et on a bien que a.Q = 0.

[leon1789]

meme question à deux variables.

P(X,Y)Q(X,Y)=0

Si tu évalues Y en X^n bien choisi, tu retombes peut-être sur le cas précédent. Non ?

[leon1789]

Pour 2 variables il faut dire que K[X,Y] c'est K[X][Y].

oui, bien sûr !
...quand même, j'aurais pu y penser ! :briques:

Pour remonter à Q on prend sauvagement a = le produit des ai et on a bien que a.Q = 0.

et si le produit des ai est nul ?

[ThSQ]

P et a non nuls et A commutatif quand même :ptdr:
Joli sinon !

an et bm les coeff dominant de P et Q.
an*bm=0 donc anQ est nul ou de degré < d°Q et on peut redescendre jusqu'à une constante de proche en proche (en différenciant an*bj = 0 pour tout j ou non).

[jeancam]

Pour 2 variables il faut dire que K[X,Y] c'est K[X][Y].
On écrit Q = somme des Qi.Y^i.

on a donc RQ=0 avec R polynome en X et apres ?

[jeancam]

et si le produit des ai est nul ?

c est pour çà je distingue deux cas
1 les annulateurs des coef de P sont egaux
dans ce cas si p0 est la constante dans P et q0 dans Q, q0 annule aussi p1 et on a p1q0+p0q1=0 donc p0q1=0 et de proche en proche piqj=0 donc on prends pour a n importe quel pi.
2 ce n est pas le cas et je raisonne par recurence sur le nombre de monomes de P. comme on n est pas dans le cas 1 on peut multiplier P par un scalaire qui abaisse son nombre de monomes SANS L ANULER.

çà marche a deux variable avec la remarque de Doraki mais je crois que ce n etait pas immediat, ou peut etre j ai pas vu quelque chose d evident.