Polynômes et racines

[lynux]

Bonjour, je me permets de poster un petit problème sympa, j'espère qu'il vous plaira et qu'il durera un minimum :

Soit un entier et des réels tels que
Montrer que les racines du polynôme :
ne peuvent pas être toutes réelles.

[Elias]

Bonjour, je me permets de poster un petit problème sympa, j'espère qu'il vous plaira et qu'il durera un minimum

Soit un entier et des réels tels que
Montrer que les racines du polynôme :
ne peuvent pas être toutes réelles.

Salut,

Un résultat classique dit que si P est un polynôme de degré possédant racines réelles (comptées avec multiplicité), alors le polynôme P' possède (n-1)racines réelles (comptées avec multiplicité).

En effet, si on note les racines réelles distinctes de de multiplicités respectives ( et ) alors ces nombres seront aussi racines de de multiplicité puis grâce au théorème de Rolle, on attrape autres racines de P' (en appliquant Rolle sur les intervalles)
Et comme , c'est OK.


Pour en revenir au problème, si jamais le polynôme avait racines réelles, alors en dérivant sucessivement jusqu'a atteindre un degré 2, on obtiendrait un polynôme avec au moins une racine réelle d'après le résultat énoncé ci-dessus (*)

Or en dérivant jusqu'au degré 2, on obtient de discriminant (après factorisation) qui est alors positif d'après (*) mais ça contredit les hypothèses.

[lynux]

Salut,

Ah oui ça marche et c'est plutôt très efficace, voici une autre solution pour ceux que ça intéresserait :

Supposons par l'absurde que les racines de notre polynôme soient réelles.
Par les formules de Viète, on a :

De plus, puisque , on a par Cauchy-Schwarz : et on a donc : ce qui contredit l'énoncé.