Polynome

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silverseyf
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Polynome

par silverseyf » 12 Avr 2018, 22:05

Soit P un polynome a coefficients entiers. On suppose qu’il existe trois entiers a, b et c tels que
P(a) = b, P(b) = c et P(c) = a. Montrer que a = b = c



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Ben314
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Re: Polynome

par Ben314 » 13 Avr 2018, 04:38

Salut,
Pour tout , on a donc c'est à dire

.
- Si alors et donc d'où .
- De même, si alors donc d'où .
- Enfin, si alors donc d'où .

EDIT : En fait, si admet un cycle (entier) avec pour alors ou bien .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

silverseyf
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Re: Polynome

par silverseyf » 13 Avr 2018, 14:58

J suis terminal S ..

lynux
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Re: Polynome

par lynux » 13 Avr 2018, 16:00

Ce problème vient de l'USAMO 1974 si j'ai bonne mémoire, il a donc été posé à des personnes d'un âge inférieure ou égale au tien, il n'y a de plus pas de notions élevées dans la résolution proposée par Ben314.

nodgim
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Re: Polynome

par nodgim » 13 Avr 2018, 16:48

Variante.
Soient k, j , m entiers.

p(a) - p(b) = k * (a - b) = b - c-------( j'espère que c'est OK pour toi à cet endroit là )
p(b) - p(c) = j * (b - c) = c - a
p(c) - p(a) = m * ( c - a ) = a - b

Les fractions suivantes sont donc des entiers :
( b - c ) / (a - b) ; ( c - a ) / ( b - c ) ; ( a - b ) / ( c - a )

Il faut donc I a - b I <= I b - c I <= I c - a I <= I a - b I
Et là vu le 1er et le dernier terme, tu conclus.

MMu
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Re: Polynome

par MMu » 17 Avr 2018, 01:15

On peut étendre le résultat aux "entiers de Gauss" .. :mrgreen: :frime:

 

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