Polynome
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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silverseyf
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par silverseyf » 12 Avr 2018, 22:05
Soit P un polynome a coefficients entiers. On suppose qu’il existe trois entiers a, b et c tels que
P(a) = b, P(b) = c et P(c) = a. Montrer que a = b = c
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Ben314
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par Ben314 » 13 Avr 2018, 04:38
Salut,
Pour tout
, on a
donc
c'est à dire
.
- Si
alors
et donc
d'où
.
- De même, si
alors
donc
d'où
.
- Enfin, si
alors
donc
d'où
.
EDIT : En fait, si
admet un cycle (entier)
avec
pour
alors
ou bien
.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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silverseyf
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par silverseyf » 13 Avr 2018, 14:58
J suis terminal S ..
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lynux
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par lynux » 13 Avr 2018, 16:00
Ce problème vient de l'USAMO 1974 si j'ai bonne mémoire, il a donc été posé à des personnes d'un âge inférieure ou égale au tien, il n'y a de plus pas de notions élevées dans la résolution proposée par Ben314.
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nodgim
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par nodgim » 13 Avr 2018, 16:48
Variante.
Soient k, j , m entiers.
p(a) - p(b) = k * (a - b) = b - c-------( j'espère que c'est OK pour toi à cet endroit là )
p(b) - p(c) = j * (b - c) = c - a
p(c) - p(a) = m * ( c - a ) = a - b
Les fractions suivantes sont donc des entiers :
( b - c ) / (a - b) ; ( c - a ) / ( b - c ) ; ( a - b ) / ( c - a )
Il faut donc I a - b I <= I b - c I <= I c - a I <= I a - b I
Et là vu le 1er et le dernier terme, tu conclus.
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MMu
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par MMu » 17 Avr 2018, 01:15
On peut étendre le résultat aux "entiers de Gauss" ..
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