Un polynôme
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Dacu
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par Dacu » 07 Mar 2017, 08:38
Bonjour à tous,
Déterminer le polynôme
avec des coefficients entiers sachant que
pour
et pour
.
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
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aviateur
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par aviateur » 07 Mar 2017, 12:59
Bonjour
Voilà
répond à la question
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chan79
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par chan79 » 07 Mar 2017, 15:02
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Ben314
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par Ben314 » 07 Mar 2017, 15:20
Salut,
Comme j'aime pas trop les calculs, perso., je répondrait que
convient (où
désigne les 3 solutions dans
de l'équation)
Et on peut même rajouter que, si on veut mener les calculs pour ce type de problème, il n'est nul besoin de résoudre les équations correspondantes (par exemple ici
) vu que si on développe formellement le bidule, on se retrouve évidement avec des coeff. qui sont des fonctions symétriques en les solutions de l'équation et donc qui s'expriment en fonction des coefficient (entiers) de l'équation en question.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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aviateur
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par aviateur » 07 Mar 2017, 17:08
Bonjour
Pour info: la solution proposée par Ben est la bonne et elle correspond à la mienne!
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Dacu
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par Dacu » 09 Mar 2017, 08:52
aviateur a écrit:Bonjour
Voilà
répond à la question
Bonjour,
S'il vous plaît donner des détails....Merci beaucoup!
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
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aviateur
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par aviateur » 09 Mar 2017, 14:11
Bonjour
Voici ci dessous un lien pour rappeler l'expression des coefficients d'un polynôme et comment on peut les exprimer en fonction des sommes de Newton et inversement.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... %A9triquesAvec cela on devrait pour calculer la solution en remarquant que
P est déjà factorisé en un polynôme de degré 4 et un polynôme de degré 6. (cf message ci-dessus)
Celui de degré 4 se calcule relativement facilement car les racines de x^2-2=0 et x^2-3=0 sont bien connues.
. On trouve P_4(x)=1 - 10 x^2 + x^4
Celui de degré 6 est plus difficile à calculer mais on y arrive sans calculer les racines en calculant les polynôme de Newton relatif au solution de x^2-2=0 et x^3-3=0.
On trouve P_6(x)=1 - 36 x + 12 x^2 - 6 x^3 - 6 x^4 + x^6.
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Dacu
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par Dacu » 09 Mar 2017, 17:13
Bonjour "aviateur",
Intéressant:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... %A9triquesEn fait , nous pouvons écrire
et
et alors nous avons:
1)
ou
ou
et enfin nous obtenons
et donc
2)
et enfin nous obtenons
et donc
3)
est le polynôme qui doit être trouvé.
Merci beaucoup!
Cordialement,
Dacu
Modifié en dernier par
Dacu le 10 Mar 2017, 06:42, modifié 3 fois.
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
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par aviateur » 09 Mar 2017, 18:19
Bonjour Dacu
Comme cela c'est encore plus simple!!!
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