Polynôme entier

[MMu]

On définit avec
Montrer que est un polynôme à coefficients entiers .
:zen:

[chombier]

?

Sinon
- ça sens très fort la démonstration par récurrence.
- es-tu sur des expression de f0, f1 et f2 ? Ce sont trois fonctions constantes ?

As-tu cherché l'expression de f3 ?

[MMu]

:zen: Alors, personne ?!

[chombier]

:zen: Alors, personne ?!

Tu as lu mes questions ? Elles sont censées te mettre sur la voie, as-tu essayé d'y répondre ?

Parce que si tu espères les réponses toutes cuites, tu n'es pas sur le bon site :triste:

[chan79]

Tu as lu mes questions ? Elles sont censées te mettre sur la voie, as-tu essayé d'y répondre ?

Parce que si tu espères les réponses toutes cuites, tu n'es pas sur le bon site :triste:

C'est un défi! MMu connaît la réponse :zen:

[chombier]

C'est un défi! MMu connaît la réponse :zen:

Ah ! Oh ! Ben c'est pas facile alors.

Je dirais qu'il faut prouver que est un multiple de .

Autrement dit qu'il existe un polynome Q(x) tel que

Autrement dit encore que


Si on appelle cette propriété. Elle est vraie pour les rangs n=0, n=1 et n=2.

On suppose ensuite qu'elle est vraie pour les rangs n+1, n+2 et n+3 (n fixé) et on doit prouver qu'elle est vraie au rang n+4

J'en suis là, je cherche encore

[chombier]

Ok, on appelle donc la propriété

Elle est vraie pour , et car ni f0, ni f1, ni f2 ne s'annulent.

Supposons qu'elle soit vraie pour un certain rang n fixé, n>=3.

On souhaite démontrer qu'elle est vraie au rang n+1

Autrement dit que

On suppose pour cela que est vraie pour un certain x_0 fixé.
Et on veut démontrer que f_{n+3}(x_0)f_{n+2}(x_0)+x_0 = 0[/TEX]

Bon, il y a un souci dans mon argumentation, si f_n(x) se factorise avec un polynome de degré 2 sans racines, mon raisonnement s'effondre.

Je passe la main

[chan79]

salut

Pour l'instant, je n'ai que cette conjecture pour n pair:



:hum:

[khalid92]

salut

Pour l'instant, je n'ai que cette conjecture pour n pair:



:hum:

j'ai trouvé un truc ,

f_{2n+1}(x)-f_{2n}(x)=f_{2(n+1)}(x)-f_{2n+1}(x)

"/>

[khalid92]

un exo impénétrable :mur:

[Doraki]

Soit f(n) la suite définie par f(0) = f(1) = f(2) = 1, f(3) = 1+X,
et f(n+4) = 2(1+X)f(n+2) - f(n)

Pour tout n, f(n) est clairement un polynôme.

Comme la suite f(n) est annulée par le polynôme T^4 - (2+2X)T² + 1,
f(n+3)f(n) et f(n+2)f(n+1) sont annulées par (T²-(2+2X)T+1)(T²+(2+2X)T+1)(T-1)(T+1) (le polynôme dont les racines sont des produits de 2 des 4 racines de T^4 - (2+2X)T² + 1)

(T-1) est un facteur de ce polynôme donc la suite constante (X) est aussi annulée par ce polynôme.

Donc f(n+3)f(n) - f(n+2)f(n+1) - X est récurrente linéaire d'ordre 6.

Comme les 6 premiers termes de cette suite sont nulle, f(n+3)f(n) - f(n+2)f(n+1) - X est identiquement nulle.

Donc f(n) est aussi la suite définie par f(0) = f(1) = f(2) = 1 et f(n+3)f(n) = f(n+2)f(n+1) + X

[chan79]

Bien joué !
C'est vrai que si on arrive à conjecturer que , cela se démontre assez facilement par récurrence. Pas de difficulté pour l'initialisation.



en utilisant l'hypothèse de récurrence



soit

Le tout était de faire cette conjecture ... J'aurais eu du mal à y arriver ... :zen:

[Doraki]

Tu peux en trouver d'autres là : http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/tokhniot/oNesSomos1
(merci Shalosh B. Ekhad)