Polygones et distances

[Menthe]

Bonjour,

Je m'intéresse depuis peu aux polygones.

Voici mon problème : j'ai un polygone quelconque dans R², et j'aimerais savoir s'il est vrai que la longueur maximale d'un segment reliant 2 points quelconques à l'intérieur de ce polygone est celle d'un segment reliant 2 sommets du polygone ( y compris les cotés ).

Merci :happy2:

[scelerat]

Supposons que non. Alors on peut prolonger le segment maximal jusqu'aux cotes s'il n'y va deja et en avoir un plus long, donc il joint au moins deux cotes, et on peut faire glisser son arrivee sur un cote jusqu'a un sommet si elle n'y va deja et le rallonger ainsi, donc le segment joint forcement deux sommets.

[Menthe]

Intéressant. Cependant, le fait d'affirmer que se rapprocher d'un sommet allonge le segment me semble un peu vite dit :we:

Je suis d'accord avec ce que tu as dit, mais je me demande s'il y a moyen de prouver ceci mathématiquement.

Je veux juste trouver un moyen de contourner l'envie que l'on peut avoir de dire que l'on voit bien que ça fonctionne graphiquement donc que c'est toujours vrai.

[Imod]

Le polygone P est compact car fermé et borné de R² donc d:PXP->R+ atteint son maximum M . Ce maximum est atteint pour deux points à la frontière de P sinon on a une contradiction en considérant un voisinage de l'un de ces points dans P . Maintenant si l'un de ses points n'est pas un sommet il appartient à un coté du polygone et au moins l'une des extrémités de ce côté fournit un maximum plus grand que M : contradiction .

Imod

[nodgim]

Hum.... si on ne précise pas polygone convexe, on risque d'avoir quelques soucis avec cette affirmation. :doh:

[Imod]

Hum.... si on ne précise pas polygone convexe, on risque d'avoir quelques soucis avec cette affirmation. :doh:

En effet :



Imod

[scelerat]

Intéressant. Cependant, le fait d'affirmer que se rapprocher d'un sommet allonge le segment me semble un peu vite dit :we:

Si ca raccourcit, il suffit d'aller vers l'autre bout !