Points dans un polyèdre.

[Doraki]

On considère un ensemble fini de points A1 A2 .... Ap dans Z^m,
et on appelle A l'enveloppe convexe de ces points dans Q^m.

On considère la fonction qui à un entier n > 0 associe le nombre de points de A de la forme (x1/n, x2/n ... xm/n) où les x1...xm sont dans Z (la fraction xi/m n'est pas forcément réduite).

Il s'agit de montrer que cette fonction est un polynôme en n.

[Ben314]

En première lecture, ça me fait trés beaucoup penser au théorème qui donne la surface d'un polygone convexe du plan dont les sommets sont à coordonnées entières en fonction du nombre de points à cordonnées entières à l'intérieur et au bord.
SAUF QUE :
1) J'ai évidement oublié le nom du théorème
2) J'ai pas (encore) regardé si la preuve se généralise bien en dimension supérieure...

[skilveg]

@Ben314: si je me souviens bien, c'est le théorème de Pick. Comment tu veux t'en servir?

[Doraki]

Le théorème de Pick permet de faciliment expliciter les coefficients du polynôme quand t'es dans Z²,
mais je sais vraiment pas si c'est utile de s'en servir pour montrer que la fonction est polynômiale.

[Ben314]

Bon, j'ai trouvé, mais en trichant : aprés avoir cherché 1/2 heure, j'ai cherché sur internet...
Pour être honète, c'est trouvable, mais c'est pas super fastoche...