7 points dans un disques

[Ericovitchi]

un vieux problème d'olympiade, je ne sais pas si vous avez déjà traité ça sur le forum :

Dans un plan on se donne un disque fermé de rayon 1, et on suppose qu'il contient 7 points dont les distances mutuelles sont toutes supérieures ou égales à 1. Prouver que le centre du disque est l'un de ces points.

[Zweig]

Un joli problème ! Je le connais, donc je laisse la place aux autres :++:

[Imod]

C'est bizarre , ça semble évident mais comment le montrer ??? Je ne sais pas si ça sert : le disque de rayon 1 peut contenir exactement sept disques de rayon 1/3 et l'un d'entre eux partage son centre avec le grand disque :doh:

Imod

[beagle]

si on prend l'hexagone régulier inscrit dans le cercle, il se divise en 6 triangles équilatérales de coté 1,
soit un point dans une de ces portions(triangle ou non), pour faire du 1 faut aller , tomber sur la portion d'à coté, donc on pourra placer ainsi 6 points maxi,
il en manque 1,
reste plus que le centre et donc les 6 autres n'ont qu'à bien se tenir sur le cercle.

[Imod]

En effet , c'est bête :triste:

Imod

[benekire2]

après bien sûr il n'y a plus qu'a écrire ça proprement, comme toujours ...

[beagle]

après bien sûr il n'y a plus qu'a écrire ça proprement, comme toujours ...

oui je crois qu'il faut écrire triangles équilatéraux et non pas équilatérales car c'est pas des gonzesses les triangles.
C'est pas propre ce que je raconte sinon?
Déjà qu'Imod a trouvé ça bète,
vais finir par me vexer ...

[Zweig]

Salut,

On désigne par les points considérés et par O le centre du cercle. Supposons par l'absurde qu'aucun de ces points n'est confondu en O. Alors le plus petit des angles est strictement inférieur à . Sans perte de généralité, supposons que cet angle minimum soit en les points et .

Or, d'après le théorème d'Al-Kashi,



Contradiction !

[beagle]

mouais, c'est vraiment bète,
reste plus qu'à mettre ça au propre.

[Imod]

mouais, c'est vraiment bête.

Ce n'était pas du tout une critique à ton égard , au contraire c'est très court , efficace et sans aucun calcul :++:

Il faut juste préciser qu'il peut y avoir deux points dans la même part ( au sens large ) mais qu'alors les points sont sur le cercle ou au centre du cercle :we:

Imod

[beagle]

Bonsoir Imod, je sais,...
j'ai du mal à rester sérieux sur l'ensemble d'une réponse,
c'est pour rire,
et je vais me coucher, bonne nuit à tous.