Pointer vous sur les dimensions :P

[fat-footy]

Une droite est de dimension 1
Un plan est de dimension 2
L'espace est de dimension 3
Je sais que d'autres dimensions plus grandes existent.
Mais avant tout, qu'elle est la dimension d'un simple et unique point?
A vous de suggérer des réponses.

[Finrod]

zéro

Et la dimension de l'ensemble vide, d'après toi ?

[Nightmare]

Et la dimension de l'ensemble de Cantor? :lol3:

[Arnaud-29-31]

Ca correspond à l'espace vectoriel contenant uniquement l'élément neutre.
Sa base en l'ensemble vide, il est de dimension 0.

[beagle]

Quelle est la dimension d'un pas de point?

ce que je trouve difficile c'est que souvent le point est inscrit dans le plan,
d'une feuille, d'un écran, de ...

donc la question serait quelle dimension du pas de point dans rien?

et la réponse dépend-t-elle du nombre de personne à qui elle est posée?
exemple la mème question posée à personne?

[Finrod]

Mais il existe un grand nombre de notions de dimension, quelle est la plus pertinente ? Peut il en exister une universelle ?

[beagle]

zéro pour le point me va bien,
j'ai eu ce soucis lorsque Ben a mis tous les points d'un segment bout à bout , une infinité de points et on se retrouvait avec une distance x, donc zéro multiplié à l'infini ne faisait plus zéro,...

alors si le point est rond par exemple, losange c'est joli aussi, il aurait un diamètre et un centre, donc un point possible au centre du point, donc le point n'existe jamais vraiment matériellement parlant?

l'infini me dépasse, et ça j'arrive à comprendre.

[Finrod]

Mais l'infini, il est partout.

On ne connait pas la valeur exacte de la fonction exponentielle pour presque tout ces points, mais c'est pas grave, on lui donne un nom et on continue.

On ne connait d'ailleurs la valeur exacte d'aucun irrationel.

Le point, quant à lui est un objet formel.

Et quand tu mets des points bout à bout, ce n'est pas une opération "linéaire" mais ensembliste. Autrement dit, du point de vue des ensemble, le point n'est plus l'objet nul. Donc ce n'est pas par zéro que tu multiplies, si tant est que l'on puissae parler de multiplication.

[beagle]

Ok, cela va à peu près.
j'aime bien la notion ensembliste des points,
faut relire ce que disait Ben parce que c'était plus fin que ce que j'ai retraduits dans mon malaise.

un point serait quelque chose qui "n'existe pas" mais dont on sait où le trouver si on en a besoin (exemple pour se déplacer quelque part, pour tourner autour...), alors que mon non point n'existe pas mais en plus reste introuvable si jamais quelqu'un en avait besoin un jour (vu que je disais ça uniquement pour rendre service à quelqu'un qui pourrait un jour en demander un à kiloutou ou autre ...)

[Finrod]

Le "point" et zéro c'est kif-kif.

Le point, c'est l'objet nul dans une catégories additive (groupes, esp vectoriels)

Si la catégorie, n'est pas additive, comme les ensemble, alors c'est l'objet final, tout ensemble peut se contracter en un point.

L'objet initial ie, qui appartient de manière unique à tout ensemble, c'est l'ensemble vide.

D'ailleurs si ce dernier avait une dimension, formellement, on choisirait - infini, en ajoutant comme règle (formelle), ici -infini * 0 = -infini car le -infini est en fait un super zéro.

On retrouce ce phénomène en géométrie tropicale, pour d'autres raisons, le zéro tropical, c'est -infini.
(assez amusant la géo tropicale, si vous avez envie de vous torturer l'esprit)

[Ben314]

O.K., mais en géométrie projective, (à mon sens d'un usage un peu plus fréqent que la géométrie tropicale) la dimension de l'ensemble vide est simplement -1.
Bon, forcément, ça en jette un peu moins que -oo, mais ça colle mieux dans les formule de dimension : dim()+dim(FnG)=dim(F)+dim(G) pour les sous espaces projectifs (et donc pour les sous espaces affines dans certaines conditions...)

[beagle]

Il me semble que cela s'éclaircit.
Si je demande un point précis le gars de kiloutou va le chercher en rayon.
Si je lui demande un pas de point, le gars descend en chercher au sous-sol.
Et quand il demande après: -et vous savez vous en servir?
-Euh, non, j'en voulais un pour parler sur un forum de maths.
-vous faut les protections qui vont avec qui me dit alors
-d'ac mais ça va pas trop couter quand mème? que je lui réponds

[Finrod]

Si

Dim(FuG)=Dim(F)

donc ça se simplifie et il reste ...

ça peut etre -1, -2 ou autre, il n'y a pas de condition.

c'est un choix ? Ou il y a une raison plus précise de choisir -1 ?

ps: Je ne savais pas qu'on faisait ça en géométrie projective.

[Ben314]

On peut voir la géométrie projective comme de la géométrie affine à laquelle on a rajouté des points à l'infini qui correspondent à des directions de droites (comme def. mathématique, c'est pas super carré, mais ça donne trés bien l'image)

Si tu prend deux droites F et G de l'espace de dim 3 dont l'intersection est vide (en temps que vrai sous espaces affines) alors :

Soit elles sont parallèles, l'espace affine qu'elles engendrent est un plan,et en projectif elle se coupent en un point (à l'infini) donc, en projectif, tu as :


Soit elles ne sont pas parallèles, l'espace affine qu'elles engendrent est l'espace tout entier, et même en projectif leur intersection est vide. Dans ce cas, en projectif, tu as :


Sinon, si on veut faire "des vraie math", un espace projectif de dim n, c'est l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel de dim n+1.
Si on prend comme e.v. {0} de dim 0, on obtient un espace projectif de dim -1 qui est... vide vu que {0} ne contient aucune droite vectorielle.
C'est un des cotés trés pratique de la géométrie projective par rapport à la géométrie affine : l'ensemble vide n'est pas un espace affine et ça fout la merde dés le début : l'intersection de deux sous espaces affines n'est pas forcément un sous espace affine : ce n'en est un que lorsque... l'intersection est non vide...
En géométrie projective, on n'a pas ce problème.

[Finrod]

Joli ! _____