Playlists de musiques.

[Soadfandaemon]

Bonjour,

Je me permets de vous soumettre un petit challenge dont j'ignore la difficulté en fait. Simplement, hier avec un pote nous écoutions tous deux des playlists du même compositeur. Comme elles n'étaient pas triées d'une quelconque façon que ce soit, nous nous demandions si à un moment donné on écouterait la même musique, au hasard des playlists. Cela nous a amené a deux problèmes simplifiés:

Considérant deux playlists de 50 musiques de même durée mais dans des ordres différents, qui sont démarrées en parallèle, quelle est la probabilité d'avoir au moins une paire au terme de la lecture (=50 musiques lues) si:

1) On triche en disant qu'il peut y avoir remise (chaque fois que la personne 1 écoute une musique, l'autre peut avoir n'importe laquelle, sans restriction. Ainsi le 2e peut très bien avoir 50 fois de suite la même musique qui est jouée).
Ici à priori, la probabilité d'avoir au moins une paire est de 1 - celle de n'en avoir aucune, ce qui donnerait 1-(49/50)^50 =0.63, non ?

2) Version plus hardcore: On considère qu'il n'y a pas de remise. La personne 1 lit une musique et on regarde si la 2 lit la même. Une fois que la 1 a terminé sa lecture de la première, elle ne reviendra plus jamais dans sa playlist, même chose pour la personne 2. Ainsi il est tout à fait possible que quand le 1 lisent une musique, le 2 n'ait aucune chance de pouvoir la lire aussi car elle est peut être déjà passée dans sa playlist... On peut même dire qu'à chaque fois qu'on avance dans la playlist, la probabilité de faire une paire s'amoindrit non ? Puisque de plus en plus de musiques ne pourront plus être jouées. Ainsi à chaque lecture de musique, soit la probabilité de former une paire est (1 / musiques restantes), soit elle est de 0 car déjà jouée...

Dans ce contexte plus compliqué, comment calculer la probabilité d'avoir au moins une paire de musiques au terme de la lecture des 50 ?


Merci d'avance.


PS: Dieu merci on ne prend pas en compte des musiques de longueurs différentes...

[Ben314]

Salut,
C'est un problème de dénombrement classique qui consiste à regarder parmi les N! (factorielle) permutations d'un ensemble à N (ici =50) éléments combien il y en a où aucun des éléments à l'arrivé n'est à la même place que celle qu'il avait au départ.
De telles permutation sans "point fixe" sont en général appelés des dérangement (<- lien Wiki).
Et la proba. que ta permutation soit un dérangement (i.e. que ce ne soit jamais la même chanson en même temps sur les deux listes) est exactement égale à :

qui, si N est un peu grand (par exemple N=50), est évidement très très proche de

Si ça t’intéresse, tu peut chercher tout seul la preuve : c'est pas "une évidence", mais ça ne demande pas forcément de gros outils et c'est pas non plus "archi compliqué" (et en plus il y a plusieurs méthodes...)

Sinon, effectivement, si on considère le même problème "avec remise" alors la proba. de ne jamais avoir la même chanson est cette fois de qui, de nouveau, tend vers lorsque N->oo (donc ton 0,63 c'est à peu prés )

[Soadfandaemon]

Ah super merci, je ne voyais pas le problème comme ça mais effectivement xD Donc au final, la proba est un peu près la même.. C'est dingue, une des seules fois où j'ai posté un truc ici, la réponse jouait aussi autour du nombre de dérangement.. Je crois que j'ai un bug mental qui m'empêche de raisonner avec ça. Un grand merci.